Difusión de calor en un horno.

Question

Difusión de calor en un horno.

Física
difusión
motor térmico
termodinámica
conduccion de calor
conductividad térmica

SOY

Tengo este problema donde estoy precalentando un horno para alcanzar $n^\circ$ . Entonces, digamos que dentro del horno hay un elemento calefactor en la parte inferior, que a su vez calienta el resto del horno. Suponiendo que el aire en el horno se comporta como un conductor estándar (ignore la convección), ¿cómo puedo medir la temperatura en un punto dado? $T$ y ¿cuál será la temperatura de equilibrio en un punto dado?

Lo que he hecho hasta ahora es hacer algunas suposiciones sobre el sistema.

Las paredes están perfectamente aisladas.
El horno es unidimensional ( $z$ dirección)
El horno tiene longitud $L$ y potencia de salida $q$
El elemento calefactor se coloca en $z=0$

A partir de esas suposiciones, he logrado formular la siguiente ecuación usando la ecuación de difusión de calor donde $\alpha$ es la difusividad térmica del aire, $c$ es la capacidad calorífica específica del aire, $\rho$ es la densidad y $\delta$ es la función delta de dirac.

{tu}_{t} = α {tu}_{z z} + \frac{q}{C ρ} d (z)

$u_t=\alpha u_{zz}+\frac{q}{c\rho}\delta(z)$ Y esta ecuación tendría las siguientes condiciones iniciales y de contorno donde

T_{0}

$T_0$ es la temperatura ambiente inicial del horno.

tu (z, 0) = T_{0}

$u(z,0)=T_0$

{tu}_{z} (0, t) = {tu}_{z} (L, t) = 0

$u_z(0,t)=u_z(L,t)=0$ Este es el punto en el que no estoy seguro de haber realizado el enfoque correcto, ya que se siente incorrecto tener

u_{z} (0, t) = 0

$u_z(0,t)=0$ mientras que también tiene el elemento calefactor en

z = 0

$z=0$ . Tal vez podría colocar el elemento calefactor en

z = ϵ

$z=\epsilon$ en cambio, pero no estoy seguro de cómo resolver esto y preferiría tenerlo en

z = 0

$z=0$ . Intenté resolver la ecuación usando los métodos que encontré aquí , pero parece que tengo problemas con

q

$q$ ya que no se puede escribir como una suma en

X_{n} (x)

$X_n(x)$ y

Q_{n} (t)

$Q_n(t)$ ya que es solo una constante con la única dependencia espacial que es la función delta de Dirac.

También he intentado encontrar las temperaturas de equilibrio suponiendo un estado estacionario con $u_t=0$ lo que da como resultado más problemas ya que no estoy seguro de cómo encontrar la integral indefinida de la función delta de Dirac (no estoy seguro si existe). He intentado usar simplemente la definición de integral definida pero eso da resultados contradictorios.

Si alguien pudiera proporcionar una respuesta detallada sobre cómo resolver el problema, o incluso un punto en la dirección correcta, se lo agradecería, ya que he estado reflexionando sobre esto durante un par de días, pero aún no puedo pensar en una solución.

mmesser314

Tienes un problema con tus suposiciones. Las paredes son perfectamente aislantes, lo que significa que el calor que entra se queda adentro. El elemento calefactor agrega cabeza para siempre. Esto significa que tendrá un horno que se calienta más y más sin alcanzar nunca una temperatura de equilibrio.

Adrián Howard

Además, no puede tener aire o calor en 1 dimensión.

Chet Miller

Usar

- k \frac{\partial u}{\partial z} = q

$-k\frac{\partial u}{\partial z}=q$ en z = 0, donde q es el flujo de calor, y pierde el término delta de Dirac en la ecuación diferencial.

Respuestas (1)

Difusión de calor en un horno.

Tienes un problema con tus suposiciones. Las paredes son perfectamente aislantes, lo que significa que el calor que entra se queda adentro. El elemento calefactor agrega cabeza para siempre. Esto significa que tendrá un horno que se calienta más y más sin alcanzar nunca una temperatura de equilibrio.
Usar $-k\frac{\partial u}{\partial z}=q$ en z = 0, donde q es el flujo de calor, y pierde el término delta de Dirac en la ecuación diferencial.

ytlu · Answer 1

Un modelo simple puede adaptarse a su caso. Solucione una ecuación de difusión simple para la densidad de energía térmica $u(z, t)$

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial tu}{\partial t} = D \frac{\partial^{2} tu}{\partial z^{2}} . \end{matrix}

$\tag{1} \frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}.$ Dónde

D

$D$ la constante de difusión. E imponer las condiciones de contorno:

D {[\frac{\partial tu}{\partial z}]}_{L} = 0; D {[\frac{\partial tu}{\partial z}]}_{0} = - PAG

$D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_L = 0;\\ D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_0 = - P$ dónde

P

$P$ es el cable de calefacción de forma de generación de energía. Elaboraré los detalles a continuación.

effects of boundary condition

Para estudiar cómo se relaciona la condición de contorno con la potencia de calentamiento, integremos la ecuación (1) wrt $z$ .

\begin{matrix} (2) & \int_{0}^{L} d z {\frac{\partial tu}{\partial t} = D \frac{\partial^{2} tu}{\partial z^{2}}} \end{matrix}

$\tag{2} \int_0^L dz \left\{ \frac{\partial u}{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right\}$

Definir $U(t) = \int_0^L u(z, t) dz$ . Después de la integración, la Ec. (2) rinde:

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial tu (t)}{\partial t} = D {[\frac{\partial tu}{\partial z}]}_{L} - D {[\frac{\partial tu}{\partial z}]}_{0} \end{matrix}

$\tag{3} \frac{\partial U(t)}{\partial t} = D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_L - D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_0$ Esta ecuación da un significado dinámico a la derivada de

u

$u$ en los límites: las derivadas denotan la tasa de cambio de la energía total.

El $z=L$ es un medio aislante para fijar $\left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_L = 0$ , todas las energías térmicas llegan a $z$ se reflejan: la pendiente desaparece allí y se conserva la energía.

Eliminar el límite en $z=L$ , ecuación (3) se convierte

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial tu (t)}{\partial t} = - D {[\frac{\partial tu}{\partial z}]}_{0} \end{matrix}

$\tag{4} \frac{\partial U(t)}{\partial t} = - D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_0$ Dónde

U (t)

$U(t)$ es la capacitancia de calor total en el tiempo

t

$t$ . Por lo tanto la pendiente:

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial tu (t)}{\partial t} = - D {[\frac{\partial tu}{\partial z}]}_{0} = tasa de cambio de la energía térmica total. \end{matrix}

$\tag{5} \frac{\partial U(t)}{\partial t} = - D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_0 = \text{ rate chage of total heat energy.}$

En conclusión, lo que debe hacer es fijar las condiciones límite de Neumann:

D {[\frac{\partial tu}{\partial z}]}_{L} = 0

$D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_L = 0$

La derivada cero significa un límite de reflexión. El límite del aislamiento reflejará todo el flujo de calor hacia él.

y la condición de frontera de Neumann en $z=0$ :

D {[\frac{\partial tu}{\partial z}]}_{0} = - PAG

$D \left[ \frac{\partial u}{\partial z} \right]_0 = - P$

P es la potencia del generador de calor.

Establezca estas dos condiciones, luego resuelva la ecuación de difusión simple. Obtendrás lo que esperas.

Difusión de calor en un horno.

SOY

mmesser314

Adrián Howard

Chet Miller

Respuestas (1)

ytlu

Conductividad térmica transitoria con flujo de calor variable en 1D

¿Puede una máquina térmica enfriar su fuente de calor?

¿Cuál es el perfil de temperatura de los fluidos fríos y calientes para un intercambiador de calor de flujo paralelo de tubería doble?

Derivación de la ecuación del calor

Confusión sobre la Ley de Fourier

Derivación del tiempo necesario hasta el Equilibrio Térmico

¿Un cubo de hielo picado y un cubo de hielo regular tienen diferentes energías potenciales?

Significado físico del potencial en la ecuación del calor.

¿Transferencia de calor por radiación dentro de sólidos opacos?

Extremos aislados de una varilla