Invertir la ecuación del calor

Tengo un cable que se extiende desde X = 0 a ∞ . La temperatura a X = 0 viene dada por la función desconocida F ( t ) para t de − ∞ para ahora ( t = 0 ).

Ahora puedo medir la temperatura del cable en cada punto ( t = 0 ), gramo ( X ) .

Dada la temperatura del alambre ahora, gramo ( X ) , me gustaría recuperar F ( t ) , la temperatura a X = 0 , a través de la historia

Es probable que el problema esté "mal planteado", lo que significa pequeños errores en gramo ( X ) dar lugar a grandes errores en F ( t ) .

¿Qué se sabe sobre la solución de este problema? Por ejemplo, ¿se conoce el grado de mala postura? Si está levemente mal planteado, ¿hay técnicas numéricas disponibles? ¿Alguien puede indicarme artículos o un libro que lo trate?

Respuestas (2)

Tienes razón, esta es una pregunta clásicamente mal planteada, y he aquí por qué.

Si estás midiendo la temperatura k a lo largo del cable en la posición X y tiempo t , hay cualquier número de diferentes distribuciones de temperatura inicial a lo largo de ese cable que produciría t = k en ( X , t ) —es decir, la respuesta no es única para ningún conjunto dado de condiciones iniciales.

Esto significa que puede predecir qué k = F ( X , t ) será para los tiempos futuros , pero no lo que fue para los tiempos pasados .

Otra forma de pensar en esto es la siguiente: el flujo de calor viaja por un proceso de difusión. En cualquier etapa del proceso de difusión, tiende a borrar cualquier información histórica sobre las condiciones iniciales presentes en épocas anteriores. Ese borrado hace que sea matemáticamente imposible reconstruir las condiciones iniciales por retrocálculo.

alternativamente, uno podría pensar en la evolución de tiempo inverso de esta ecuación para convertirse en multivaluada, como una especie de superposición (sin relación con la superposición lineal algebraica, que yo sepa) de estados previos bien definidos
Creo que está mal planteado en un sentido similar a invertir la transformada de Laplace. Sospecho que matemáticamente tiene un inverso, pero prácticamente/numéricamente es difícil o imposible. Me gustaría averiguar en detalle lo que se sabe sobre las matemáticas de este problema.
"la respuesta no es única para ningún conjunto dado de condiciones iniciales" No estoy convencido de que esto sea realmente correcto. Espero que la ecuación de calor invertida en el tiempo d tu d t = − Δ tu para tener una solución única, al menos en algún espacio de Sobolev adecuado... uno puede construir tal solución usando la serie de Fourier, por ejemplo.
Creo que tienes razón matemáticamente. Pero está numéricamente mal planteado. Algunas respuestas muy útiles ya, pero todavía estoy buscando un artículo o libro que cubra específicamente la ecuación del calor. Por ejemplo, prueba de que está mal planteado. Grado de mala postura. Métodos numéricos aplicados específicamente a la ecuación del calor
Para un cable que se extiende hasta el infinito, ¿no falla la unicidad también para tiempos futuros? Al menos sin algunas restricciones en la distribución del calor.
Buen punto. Para el propósito de esta discusión, podemos cambiar el problema de cualquier manera físicamente razonable, para ayudar a encontrar qué se puede hacer (si es que se puede hacer algo). Entonces podemos hacer que el cable sea finito, con cualquier condición límite razonable que nos guste en el otro extremo si ayuda. Y podemos hacer que el período de tiempo sea finito y darle al cable un perfil de temperatura inicial. Por ejemplo, supongamos que el cable tiene 1 m de largo, inicialmente a temperatura 0, su otro extremo se mantiene en 0 y f(t) se aplicó durante solo 1 milisegundo. ¿Podemos entonces, en principio, encontrar f(t), si podemos medir con total precisión? creo que podemos
@ user2617 Creo que el kernel para esa ecuación solo es sensiblemente convolucionable con aquellas funciones cuya transformada de Fourier tiene una descomposición más rápida que la gaussiana en el infinito. Entonces, tal vez no sea un espacio sobolev completo, sino algo un poco más restrictivo.

De hecho, hay algunos métodos numéricos disponibles que intentan limitar el impacto de la mala postura.

Muchas veces se basan en la introducción de un término de generalización . Este es un término que de alguna manera mide los errores introducidos por la naturaleza mal planteada y lo agrega al problema de minimización de encontrar su estado inicial.

En realidad, esto se usa en una conocida técnica de aprendizaje automático llamada Máquinas de vectores de soporte, en la que tiene un compromiso similar entre encontrar un ajuste perfecto para sus datos (que es muy sensible al ruido) y limitar la complejidad del modelo. En el aprendizaje automático, esto se identifica más a menudo como el equilibrio entre sesgo y varianza, pero, en esencia, estos 2 conceptos están muy cerca uno del otro.

Dado que solicitó bibliografía, aquí hay algunas fuentes que encontré útiles durante mi investigación de maestría sobre estos temas:

muy interesante gracias
Todavía tengo la esperanza de saber de un artículo o libro que cubra específicamente la mala postura de este problema para la ecuación del calor.
La ecuación del calor también es la ecuación de difusión, que puede ser útil para ampliar su búsqueda.
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