Corrección de estructura fina

La forma más fácil de ver eso.$p^4$es esféricamente simétrico es verlo en el espacio de cantidad de movimiento. si aplicas$p^4$a un estado propio de impulso$|p\rangle$el resultado claramente solo depende de la magnitud del vector de momento del estado y no de su orientación, por lo que si$R$es un operador de rotación tenemos

$$\begin{equation} p^4 R|p\rangle = Rp^4|p\rangle \end{equation}$$ Dado que los estados propios del impulso forman una base, podemos extender este resultado a un estado general por linealidad, por lo que tenemos $p^4R = Rp^4$, en otras palabras $H_r^\prime$es esféricamente simétrico.

Los operadores de momento angular se definen como generadores de rotaciones, por lo que si$R_z(\delta\theta)$es una rotación infinitesimal alrededor del$z$eje,$L_z$es dado por

$$\begin{equation} R_z(\delta\theta) = 1 -\imath\delta\theta L_z + O(\delta\theta^2)\end{equation}$$ Si tenemos un operador esféricamente simétrico, $Q$, entonces $[R,Q] = 0$para todas las rotaciones $R$. En particular $$\begin{align*} 0 & = [R_z(\delta\theta),Q]\\ & = [1- \imath\delta\theta L_z, Q]\\ \Rightarrow 0 &= [L_z, Q]\end{align*}$$

Cuando estamos haciendo la teoría de la perturbación degenerada, el problema es esencialmente encontrar una base en la que la perturbación hamiltoniana,$H_r^\prime$es diagonal. Podemos hacer esto a la antigua usanza encontrando los vectores propios, pero esto es largo y aburrido. El truco para evitar esto es encontrar algún operador,$S$, ya entendemos cuál conmuta con la perturbación. Desde$H_r^\prime$y$S$conmutan tienen una base de vectores propios mutuos, por lo que si usamos esta base$H_r^\prime$Ya estará en diagonal y nos habremos ahorrado mucho trabajo.