Estado con momento angular distinto de cero: ¿no se puede describir mediante un armónico esférico?

Esto se debe a que cada estado esféricamente invariante$\psi$debe tener un momento angular cero.

En efecto, por hipótesis, el estado$\psi$verifica

$$\psi(R_{\vec n}(\theta)\vec{x} ) = (e^{i \theta \vec{n}\cdot \vec{\hat{J}}} \psi)(\vec{x}) = \psi(\vec{x})\tag{1}$$ dónde$\vec{n}\cdot \vec{\hat{J}}$es el generador autoadjunto de rotaciones$R_{\vec n}(\theta)$alrededor$\vec{n}$, es decir, es el momento angular a lo largo$\vec{n}$. Tomando el$\theta$derivada de (1) para$\theta=0$tenemos $$\vec{n}\cdot \vec{\hat{J}} \psi =0$$ en particular, para$k=x,y,z$, $$\hat{J}_k \psi=0\:,$$ de modo que $$\hat{J}^2 \psi = \hat{J}^2_x\psi + \hat{J}^2\psi + \hat{J}_z^2=0\:.$$

ANEXO . En realidad, un estado está representado por un vector normalizado hasta una fase . Por lo tanto, un estado esféricamente simétrico se representa mediante una versión vectorial satisfactoria de (1) más débil que la presentada anteriormente:

$$\psi(R_{\vec n}(\theta)\vec{x} ) = (e^{i \theta \vec{n}\cdot \vec{\hat{J}}} \psi)(\vec{x}) = \chi(\theta, \vec{n})\psi(\vec{x})\tag{2}$$ dónde$|\chi(\theta, \vec{n})|=1$. Tomando el$\theta$derivado de$\theta=1$encontramos $$\vec{n}\cdot \vec{\hat{J}} \psi = \alpha(\vec{n}) \psi$$ donde el valor propio es $$\alpha(\vec{n}) = \frac{d\chi(\theta, \vec{n})}{d\theta}|_{\theta=0}$$ que es un número real tan fácilmente se sigue de$|\chi(\theta, \vec{n})|=1$. Los vectores propios comunes$\psi \neq 0$de$\hat{J}_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z$tienen el valor propio común$0$como se puede probar por inspección directa (o por medio de algún argumento teórico directo que explote las relaciones de conmutación$[\hat{J}_x,\hat{J}_y]= i\hat{J}_z$). Concluimos que esta forma más completa conduce al mismo resultado que antes.