Momento angular semientero

¡Las partículas tienen espín medio entero! Todos los fermiones lo hacen. Son los bosones los que tienen que tener espín integral.

El espín es un momento angular intrínseco de una partícula. Puedes intentar imaginar que la partícula está girando, si esto te ayuda a dormir mejor, pero no es realmente lo que está sucediendo.

Es posible que haya escuchado que el momento angular se conserva debido a la simetría bajo las rotaciones. En la mecánica cuántica, esto se hace aún más extremo: el momento angular simplemente caracteriza cómo un estado cuántico se transforma bajo rotaciones. En este sentido, decir que un electrón tiene espín 1/2 significa que el electrón no es rotacionalmente simétrico (¡pero no significa que sea un elipsoide o algo así!), sino que se transforma (¡cuánticamente mecánicamente!) Bajo rotaciones en la forma más simple no -manera trivial posible. Resulta que esto significa que también tiene un momento angular intrínseco, en virtud de las leyes de la mecánica cuántica. La única forma de entenderlo realmente es estudiar cuidadosamente la mecánica cuántica desde lo más básico.

De paso,$m$que usa en la pregunta es solo una proyección del momento angular en un eje. Incluso si tiene un momento angular integral, siempre está "girando" en alguna dirección con ese momento angular completo, aunque la proyección de su "rotación" en el eje ortogonal puede ser cero.

Suponga, sin pérdida de generalidad, que el operador de momento angular tiene solo un componente,$\hat{L_z}$. Se puede demostrar que la siguiente ecuación de valores propios se cumple.

$$L_{z} |l, m \rangle = m \hbar |l, m \rangle \quad \text{such that} \quad m \in \mathbb{Z}.$$

Esto quiere decir que los valores propios del operador del momento angular orbital son múltiplos enteros de$\hbar$. Puede mostrar esto de dos maneras:

En la representación coordinada (polar),$\hat{L_z} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi}$. La ecuación de valor propio,

$$\hat{L_z} |l, m \rangle = l_z |l, m\rangle,$$

implica que la función propia (no normalizada) de$\hat{L_z}$es:

$$e^{\frac{il_z\phi}{\hbar}}.$$

Podemos probar el resultado deseado por:

1. Imponiendo la condición de que la mencionada función propia debe ser univaluada; y
2. $\hat{L_z}$es un operador hermitiano. Eso es: $$\langle \psi_1 | \hat{L_z} | \psi_2 \rangle = \langle \psi_2 | \hat{L_z} | \psi_1 \rangle ^{*}$$

También podemos tener un momento angular cuyos valores propios son múltiplos semienteros de$\hbar$. Esto se conoce como momento angular de giro. Se puede demostrar que en la formulación mecánica matricial de la mecánica cuántica, los valores propios del momento angular pueden ser, en general, tanto la mitad como múltiplos enteros completos de$\hbar$.

Uno no debería pensar en el momento angular de espín como si tuviera una contraparte clásica. Dejame darte un ejemplo:

Aplicar el operador de rotación (cualquiera que sea su forma funcional) en un estado cuántico con espín apuntando en positivo$z$dirección. El resultado es el siguiente:

$$\hat{R}(2 \pi) | + z \rangle = -| + z \rangle,$$

donde he elegido rotar el estado de giro 360 grados. Desafiando la intuición clásica, el estado de, digamos, electrón, no es lo que esperamos: clásicamente, esperamos que el resultado de la aplicación del operador de rotación sea el mismo que el resultado de nuestra aplicación del operador de identidad, lo que producirá el estado inicial como el estado final. Es sólo cuando uno rota los electrones por$4 \pi$radianes que los estados final e inicial son los mismos. El resultado es tanto contrario a la intuición como a la intuición clásica.

Nota: para ser pedante, los estados cuánticos en los lados derecho e izquierdo son equivalentes/iguales. (¿por qué?) Así que elija ignorar la terminología, en su interpretación correcta de QM, ya que en el párrafo anterior lo que intento convertir es que las expresiones en los lados derecho e izquierdo no coinciden.

Por lo tanto, uno no debería estar haciendo una correspondencia entre el momento angular de giro y la intuición/resultados clásicos. Por ejemplo, el giro de un electrón se puede especificar completamente en una Esfera de Bloch y generalmente se usa el término que se puede realizar "rotaciones" en la esfera de Bloch, lo que se puede considerar (por ejemplo) como resultado de la evolución del tiempo en una esfera de Bloch. Sí, podemos pero no se debe pensar en estas "rotaciones" como operaciones que tienen una contrapartida clásica en todos los casos, como por ejemplo en el ejemplo anterior. Por lo tanto, el operador cuántico de interés en este caso no suele ser un operador de rotación, sino un operador unitario, que puede considerarse como la generalización de un operador de rotaciones en un espacio vectorial complejo o en un espacio de Hilbert.