¿Por qué hay un factor de fase cuando los dos momentos angulares compuestos se intercambian en los coeficientes de Clebsch-Gordan?

Question

¿Por qué hay un factor de fase cuando los dos momentos angulares compuestos se intercambian en los coeficientes de Clebsch-Gordan?

Física
momento angular
mecánica cuántica
representaciones de grupo

Siyuán Ren

Existe una identidad para los coeficientes CG:

⟨ j_{1} {metro}_{1} j_{2} {metro}_{2} | j METRO ⟩ = (- 1)^{j_{1} + j_{2} - j} ⟨ j_{2} {metro}_{2} j_{1} {metro}_{1} | j METRO ⟩,

$\langle j_1 m_1 j_2 m_2 |J M \rangle = (-1)^{j_1+j_2-J} \langle j_2 m_2 j_1 m_1|J M\rangle,$

Pero, ¿por qué hay un factor de fase? $(-1)^{j_1+j_2-J}$ ?

Me parece que

| j METRO ⟩ = \sum_{{metro}_{1}, {metro}_{2}} | j_{1} {metro}_{1} ⟩ \otimes | j_{2} {metro}_{2} ⟩ ⟨ j_{1} {metro}_{1} j_{2} {metro}_{2} | j METRO ⟩ = \sum_{{metro}_{1}, {metro}_{2}} | j_{2} {metro}_{1} ⟩ \otimes | j_{1} {metro}_{2} ⟩ ⟨ j_{2} {metro}_{2} j_{1} {metro}_{1} | j METRO ⟩

$|JM\rangle =\sum_{m_{1},m_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle\otimes|j_{2}m_{2}\rangle\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle =\sum_{m_{1},m_{2}}|j_{2}m_{1}\rangle\otimes|j_{1}m_{2}\rangle\langle j_{2}m_{2}j_{1}m_{1}|JM\rangle$

Y desde $|j_{1}m_{1}\rangle\otimes|j_{2}m_{2}\rangle$ y $|j_{2}m_{1}\rangle\otimes|j_{1}m_{2}\rangle$ son el mismo estado físico, no debería haber diferencia entre $\langle j_1 m_1 j_2 m_2 |J M \rangle$ y $\langle j_2 m_2 j_1 m_1|J M\rangle$ . ¿Qué me sale mal?

Respuestas (2)

¿Por qué hay un factor de fase cuando los dos momentos angulares compuestos se intercambian en los coeficientes de Clebsch-Gordan?

Ron Maimón · Answer 1

Su error es simplemente la afirmación de que el estado $|j_1 m_1\rangle$ y $|j_2 m_2\rangle$ son el mismo estado físico: estas son etiquetas abstractas de momento angular, no son descripciones completas del estado. Los dos estados solo serían los mismos cuando los dos objetos que llevan estos números cuánticos son indistinguibles en todos los sentidos, como dos electrones de espín 1/2 en una onda S en el estado fundamental del átomo de He. En este caso, solo sobrevive la combinación antisimétrica spin-0, donde el factor de fase $(-1)^{j_1+j_2 + J}$ es -1. Los dos electrones son fermiones, por lo que los dos estados deben tener un signo menos, y esto solo es posible cuando son una combinación de espín 0. No existe una versión de espín 1 del estado fundamental del He4, porque los dos electrones no pueden tener el espín alineado ya que son fermiones.

La forma de entender el factor de fase es a través de algunos ejemplos y una mejor teoría de representación SU(2). Los ejemplos son la ley de combinación de vectores:

A \cdot B

$A \cdot B$

A \times B

$A \times B$

(A B)_{i j} = \frac{1}{2} (A_{i} B_{j} + B_{j} A_{i}) - \frac{1}{3} A \cdot B d_{i j}

$(AB)_{ij} = {1\over 2}(A_i B_j + B_j A_i) - {1\over 3} A\cdot B \delta_{ij}$

Estas son las partes spin-0, spin-1 y spin-2 del producto de dos vectores, en notación de índice SO(3). Puede ver que la parte del giro 1 es antisimétrica bajo el intercambio, y la parte del giro 2 y el giro 0 son simétricas.

Asimismo, la combinación antisimérica espín-1/2 espín-1/2 es el singlete, y la simétrica es el triplete. Esto es más fácil de ver en la notación de índice SU(2), donde

ϵ_{i j} a^{i} b^{j}

$\epsilon_{ij} a^i b^j$

es el singlete formado a partir de vectores SU(2) $a^i$ y $b^i$ , mientras que el triplete es

(A B)^{i j} = (a^{i} b^{j} + a^{j} b^{i})

$(AB)^{ij} = (a^i b^j + a^j b^i )$

que es simétrico. cuidado con eso $AB^{12}$ no está normalizado correctamente en comparación con el libro de texto habitual $|j,m\rangle$ presentación. Uno de los estados del 2-tensor (2-tensor de SU(2), el objeto spin-1) es

| 1, 0 ⟩

$|1,0\rangle$

cuando se representa como un tensor SU(2), tiene componentes

(A B)^{12} = (A B)^{21} = \frac{1}{\sqrt{2}}

$(AB)^{12} = (AB)^{21} = {1\over \sqrt 2 }$

Estos números se determinan asegurándose de que el tensor esté normalizado y le den la raíz cuadrada de los factores enteros. Los otros estados no tienen estos molestos factores, pero estos aumentan los coeficientes de Clebsch-Gordon.

La teoría de la representación de SU(2), cuando se expresa en tensores, hace que la $J=j_1+j_2$ representación multiplicando los dos tensores por $j_1$ y $j_2$ sin epsilones. Esto hace algo completamente simétrico, donde te deshaces de las partes antisimétricas.

A medida que bajas J, obtienes un $\epsilon$ tensor cada vez que baja, cambiando el carácter simétrico/antisimétrico. Esta forma de hacer la teoría de la representación es la forma más sencilla, te permite llevar los coeficientes de Clebsch-Gordon en tu cabeza. Se describe en detalle en esta respuesta: Matemáticamente, ¿qué es la carga de color? .

Lo entendí cuando dijiste "dos electrones de espín-1/2 en una onda S en el estado fundamental del átomo de He..."
Bien, $|j_1m_1\rangle$ seguramente es una descripción completa del estado asumiendo que por "estado" nos referimos a un vector en el espacio de Hilbert hasta una fase o normalización (la definición física de un estado). Por lo tanto, son descripciones completas del estado hasta una fase: un estado propio no degenerado de un conjunto completo de observables conmutables es único hasta una fase. Pero la fase es exactamente lo que se permite cambiar bajo permutaciones, etc.
@LubošMotl: Eso es cierto, pero lo que hay que explicar es por qué la elección de fase bajo el intercambio de los estados de giro debe tomarse +/- 1 de acuerdo con las tres representaciones involucradas. Por supuesto, podría incluir fases extra arbitrarias en los estados, pero entonces los operadores de aumento y disminución no funcionarán correctamente (sin fases) ni en las representaciones pequeñas ni en las grandes. La elección de fase consistente se explica mejor contando $\epsilon$ tensores, y no es así como se hace en los libros elementales de QM, pero es mucho más fácil.

ZeroTheHero · Answer 2

La fase general real de un Clebsch-Gordan es una cuestión de convención. Esto es fácil de ver en el ejemplo más simple: el acoplamiento de dos partículas de espín-1/2. El estado con momento angular L=0 y M=0 es antisimétrico y se puede escribir (hasta una normalización) como

| \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩_{1} | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩_{2} - | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩_{1} | \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩_{2}

$|\textstyle\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle_2 - |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle_2$ La fase relativa es esencial si este estado va a ser ortogonal al estado L=1,M=0, pero también podríamos haber tomado

- | \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩_{1} | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩_{2} + | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩_{1} | \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩_{2}

$-|\textstyle\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle_2 + |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle_2$ como el

L = 0, M = 0

$L=0, M=0$ estado: esta segunda opción todavía es aniquilada por

L_{+}

$L_+$ y sigue siendo un estado propio de

L_{z}

$L_z$ con valor propio

0

$0$ , por lo que es una opción igualmente buena de

L = 0, M = 0

$L=0,M=0$ estado.

En casos más generales, siempre que $L$ no es $L_1+L_2$ , el Clebsch debe contener algunos signos negativos para hacer cumplir la ortogonalidad entre estados de diferentes $L$ 's pero los mismos valores de $M$ . La posición relativa de estos signos está completamente determinada por la ortogonalidad con otros estados, pero el signo general es una cuestión de conveniencia: lo que llamamos el primero o el segundo "sistema" es puramente una cuestión de convención.

Hay varias convenciones que se utilizan para elegir el signo general. En la teoría del momento angular, el más común es el de Condon-Shortley (pero no es el único). El texto enciclopédico de Varshalovich et al da un resumen de las convenciones utilizadas por varios autores.

Una de las características de la convención de fase CS es precisamente que produce relaciones de fase del tipo dado arriba cuando intercambiamos dos etiquetas. Por lo tanto, esta opción es conveniente para fines de tabulación: básicamente, solo se necesita tabular los coeficientes cuando $L_1\ge L_2$ ya que los casos en que $L_2>L_1$ se obtienen por permutación y se relacionan con el caso original por un cambio de fase.

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