Evaluación de elementos de matriz de átomos de hidrógeno

Considere el operador

$$\mathcal{P}=L_y L_z$$ y los estados del átomo de hidrógeno $\left|n,l,m\right\rangle$. Evaluar la relación $$\mathcal{R}=\frac{\left\langle3,1,-1|\mathcal{P}|3,1,0\right\rangle}{\left\langle3,1,0|\mathcal{P}|3,1,1\right\rangle}.$$

Primero, noté que$\mathcal{P}\neq\mathcal{P}^\dagger$, así que puse

$$\mathcal{P}_\mathrm{sym}\equiv\frac{1}{2}\left\{L_y,L_z\right\},$$ ya que esta es la cantidad observable. Entonces escribí $\mathcal{P}_\mathrm{sym}$en términos de tensores esféricos $L^{(k)}_q$de rango $k$(con $2k+1$componentes), obteniendo $$\mathcal{P}_\mathrm{sym}=\frac{i}{2}\left(L^{(2)}_1 + L^{(2)}_{-1}\right).$$ Ahora, usando el teorema de Wigner-Eckart, tengo $$\mathcal{R}_{\mathrm{sym}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}\left\langle3,1||L^{(2)}||3,1\right\rangle}{\sqrt{\frac{3}{10}}\left\langle3,1||L^{(2)}||3,1\right\rangle}=\frac{1}{\sqrt3}.$$

Pero, usando un método directo, también obtuve (ya que$n=3$está arreglado)

$$\mathcal{R}_{\mathrm{sym}}=\frac{\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}&-1&\\1&&1\\&-1&\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}&-1&\\1&&1\\&-1&\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}=-1.$$ ¿Dónde me equivoco?