¿Qué hizo que Bohr cuantificara el momento angular y no alguna otra cantidad?

Question

¿Qué hizo que Bohr cuantificara el momento angular y no alguna otra cantidad?

Rajath Radhakrishnan

El segundo postulado de Bohr en el modelo de átomo de hidrógeno de Bohr se ocupa de la cuantificación del momento angular. Sin embargo, me preguntaba: ¿por qué cuantizó el momento angular en lugar de alguna otra cantidad?

dmckee --- gatito ex-moderador

Bohr no comenzó cuantificando el momento angular. Comenzó requiriendo que existieran órbitas discretas y que la energía de los fotones liberados cumpliera con la condición del tablón. El momento angular cuantificado fue un resultado que obtuvo en el artículo. Y sí, la mayoría de los libros de texto de introducción usan

L = n ℏ

$L=n\hbar$ como el punto de partida para discutir el átomo de Bohr, pero no fue la suposición de Bohr la que fue bastante más simple. Encontraré una referencia si puedo.

Respuestas (4)

¿Qué hizo que Bohr cuantificara el momento angular y no alguna otra cantidad?

Bohr no comenzó cuantificando el momento angular. Comenzó requiriendo que existieran órbitas discretas y que la energía de los fotones liberados cumpliera con la condición del tablón. El momento angular cuantificado fue un resultado que obtuvo en el artículo. Y sí, la mayoría de los libros de texto de introducción usan $L=n\hbar$ como el punto de partida para discutir el átomo de Bohr, pero no fue la suposición de Bohr la que fue bastante más simple. Encontraré una referencia si puedo.

kenshin · Answer 1

Bohr postuló que los electrones orbitan alrededor del núcleo en niveles discretos de energía, y los electrones pueden ganar y perder energía saltando entre niveles de energía, emitiendo radiación de frecuencia. $\nu$ según la fórmula

Δ mi = {mi}_{2} - {mi}_{1} = h v

$\Delta E = E_2 - E_1 = h\nu$

dónde $\nu = \frac{1}{T}$ , dónde $T$ es el período de la órbita, como en la mecánica clásica.

Ahora, durante la transición, deja $r$ Sea el radio promedio y $v$ Sea la velocidad media de la partícula. Hacer tal simplificación nos permite calcular el período de la órbita:

T = \frac{2 π r}{v}

$T = \frac{2\pi r}{v}$

Por lo tanto,

\begin{matrix} (1) & Δ mi = h v = \frac{h v}{2 π r} \end{matrix}

$\Delta E = h\nu = \frac{hv}{2\pi r} \tag 1$

Además, sabemos que la energía cinética en un nivel de energía particular está dada por

\begin{aligned} KE & = \frac{metro v^{2}}{2} = \frac{L v}{2 r}, asi que, por lo tanto \\ - tu & = 2 k mi = \frac{L v}{r} \end{aligned}

$\begin{align} \text{K.E.} & = \frac{mv^2}{2} = \frac{Lv}{2r}, \quad \text{so therefore} \\ -U & = 2KE = \frac{Lv}{r} \end{align}$

De nuevo, tomando $r$ y $v$ siendo el radio y la velocidad promedio durante la transición, obtenemos

\begin{matrix} (2) & Δ mi = \frac{(L_{2} - L_{1}) v}{r} . \end{matrix}

$\Delta E = \frac{(L_2 - L_1)v}{r}. \tag 2$

equiparar $(1)$ y $(2)$ da

\frac{(L_{2} - L_{1}) v}{r} = \frac{h v}{2 π r} .

$\frac{(L_2 - L_1)v}{r} = \frac{hv}{2\pi r}.$

Por lo tanto,

L_{2} - L_{1} = \frac{h}{2 π} = ℏ

$L_2 - L_1 = \frac{h}{2\pi} = \hbar$

Por lo tanto, cada nivel de energía difiere del siguiente en un momento angular de $\hbar$ . Por lo tanto, es razonable postular que si el nivel de energía más bajo no tiene momento angular, entonces cada nivel de energía a partir de ese momento tiene un momento angular de $n\hbar$ dónde $n$ es un número entero.

A continuación se muestra el método moderno de-Broglie:

De la definición de momento angular,

$L = rp$ , donde L es el momento angular, r es el radio de la órbita y p es el momento.

También sabemos que el momento está relacionado con la longitud de onda de una partícula a partir de la relación de De-broglie:

pags = \frac{h}{λ} .

$p = \frac{h}{\lambda}.$

La combinación de estos da

L = \frac{r h}{λ} .

$L = \frac{rh}{\lambda}.$

Ok, ahora consideremos un electrón orbitando un núcleo.

La circunferencia de la órbita es $2\pi r$ , y como queremos que el electrón forme una órbita de onda estacionaria, requerimos que $\frac{2\pi r}{\lambda}$ ser un número entero, para que la onda no interfiera consigo misma. Eso es,

\frac{2 π r}{λ} = norte,

$\frac{2\pi r}{\lambda} = n,$

dónde $n$ es algún número entero. Ahora podemos sustituir nuestra definición de $L$ desde arriba en esta ecuación para dar:

\frac{2 π L}{h} = norte

$\frac{2\pi L}{h} = n$

y reorganizar da,

L = \frac{norte h}{2 π} = norte ℏ

$L = \frac{nh}{2\pi} = n\hbar$

Por lo tanto, cuantificar el momento angular permite que la onda del electrón no interfiera consigo misma durante la órbita.

No entiendo por qué estás tomando el mismo radio. $r$ y velocidad $v$ durante las transiciones. ¿Por qué no tomas el radio? $r_1$ antes de la transición y el radio $r_2$ después de la transición (y lo mismo en el caso de la velocidad)?

Arte Marrón · Answer 2

Como comentó dmckee, el momento angular apenas se menciona en el revolucionario artículo de Bohr de 1913 "Sobre la constitución de átomos y moléculas" (Philos. Mag. 26, 1).

En cambio, Bohr basa su argumento en la hipótesis de Planck de que la radiación de un oscilador armónico cuántico "tiene lugar en emisiones claramente separadas, la cantidad de energía radiada desde un vibrador atómico de frecuencia". $\nu_o$ "en una sola emisión siendo igual a" $nh \nu_o$ , con $n$ un número entero y $h$ Constante de Planck. (He cambiado parte de la notación de Bohr para adaptarla al uso moderno).

Ahora, un oscilador armónico tiene la misma frecuencia sin importar su energía, pero no así un átomo de hidrógeno.

Después de calcular la relación entre la frecuencia $\nu_c$ y energía de ionización $W$ para una órbita cerrada clásica de eje semi-mayor $a$ , cobrar $e$ y la masa del electrón $m$ :

v_{C} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{2}{metro}} \frac{W^{3 / 2}}{{mi}^{2}}, 2 a = \frac{{mi}^{2}}{W}

$\nu_c = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{2}{m}} \frac{W^{3/2}}{e^2} \quad , \quad 2a = \frac{e^2}{W}$

Bohr ofrece dos enfoques:

Considere un electrón que comienza en reposo, lejos del átomo, y termina en una órbita cerrada estable (en sí misma una afirmación audaz, ya que clásicamente no existen tales órbitas). Dado que la "frecuencia" inicial es 0, Bohr divide la diferencia y postula que la frecuencia de la emisión radiada $\nu_r$ es la mitad de la frecuencia de la órbita final $\nu_c$ . Ajuste $W=h \nu_c/2$ (la energía irradiada), Bohr deriva expresiones explícitas para las características de la órbita final.
Como alternativa, Bohr considera las transiciones entre dos órbitas casi clásicas de muy baja frecuencia, donde las frecuencias de las órbitas inicial y final son casi idénticas. Esta situación es muy similar a la del oscilador armónico, por lo que se puede aplicar directamente la hipótesis de Planck: la frecuencia de radiación es igual a la frecuencia de la órbita. Los resultados son consistentes con el primer enfoque.

Solo entonces Bohr señala: "Si bien obviamente no puede haber dudas sobre una base mecánica de los cálculos dados en este documento, es posible, sin embargo, dar una interpretación muy simple del resultado", es decir, las órbitas circulares estables han cuantificado momento angular $L=n \hbar$ .

En 1918, en "Sobre la teoría cuántica de los espectros de líneas", Bohr adoptó la técnica de las invariantes adiabáticas para demostrar que la acción $I$ de un átomo de hidrógeno se cuantifica como el oscilador armónico: $I=nh$ . Señala que "esta condición es equivalente a la condición simple de que el momento angular de la partícula alrededor del centro del campo es igual a un múltiplo entero de $h/(2 \pi)$ .

Creo que "multiplum" = "múltiple".

Tomó un tiempo apreciar la naturaleza fundamental del momento angular cuantificado.

Bo Thidé · Answer 3

El momento angular es una cantidad conservada (en un sistema cerrado) y esto es cierto también para el momento angular que lleva el campo electromagnético (EM). Esta conservación es una manifestación de la simetría rotacional y la parte azimutal del campo EM emitido debe tener un solo valor. En otras palabras, al rotar el campo EM en el acimutal ( $\phi$ ) dirección (perpendicular a la $z$ dirección) un número entero $n$ de $2\pi$ (360 grados) debe tener el mismo valor que antes de la rotación. Esta necesaria monovaloración después de una rotación de $2n\pi$ solo se puede realizar si el momento angular alcanza solo valores enteros $n$ , es decir, si el momento angular está cuantificado (¡al nivel clásico!).

Esto posiblemente sea engañoso ya que la pregunta es sobre el modelo de Bohr, no sobre ondas EM estacionarias.
él es el autor del libro de texto The Electromagnetic Field Theory disponible en línea, gracias prof.

torgny · Answer 4

Esta es una respuesta de por qué hay una constante n involucrada en el momento angular clásicamente.

F_{C} = \frac{1}{r} metro v^{2} = k \frac{q^{2}}{r^{2}} = F_{pags}

$F_c=\frac{1}{r}mv^2=k\frac{q^2}{r^2}=F_p$

L = r metro v

$L=rmv$

r = k \frac{q^{2}}{metro v^{2}} = k \frac{q^{2}}{metro (\frac{L}{metro r})^{2}}

$r=k\frac{q^2}{mv^2}=k\frac{q^2}{m(\frac{L}{mr})^2}$

r = \frac{L^{2}}{k q^{2} metro}

$r=\frac{L^2}{kq^2m}$

\frac{1}{2} metro v^{2} = \frac{1}{2} metro ω^{2} r^{2} = \frac{1}{2} metro ω^{2} (\frac{L^{2}}{k q^{2} metro})^{2} = \frac{1}{2} k \frac{q^{2}}{r}

$\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\omega^2r^2=\frac{1}{2}m\omega^2(\frac{L^2}{kq^2m})^2=\frac{1}{2}k\frac{q^2}{r}$

ω^{2} r L^{4} = metro k^{3} q^{6}

$\omega^2rL^4=mk^3q^6$ Después de reorganizar

r^{3} v^{6} = \frac{k^{3} q^{6}}{{metro}^{3}}

$r^3v^6=\frac{k^3q^6}{m^3}$

r v^{2} = \frac{k q^{2}}{metro}

$rv^2=\frac{kq^2}{m}$

Esto muestra que r debe ser multiplicado por $n^2$ y v debe dividirse por n.

Esto implica que L puede tener n como variable si conocemos la masa. Asi que $L=mr_0v_0n$ dónde $r_0$ y $v_0$ es cuando n=1. Pero no dice por qué n deben ser números enteros. Tenemos que n=1 puede ser arbitrario, por lo que se puede establecer en n=1 cuando estamos en el radio de bohr.

¿Qué hizo que Bohr cuantificara el momento angular y no alguna otra cantidad?

Rajath Radhakrishnan

dmckee --- gatito ex-moderador

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kenshin

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Arte Marrón

Bo Thidé

gonenc

AV23

Helder Vélez

Helder Vélez

torgny

En el átomo de hidrógeno, ¿por qué el orbital del electrón es esférico en lugar de plano como un plano de órbita 2D?

En el modelo de Bohr, ¿cómo se deriva que el momento angular de un electrón en un estado estacionario es un valor integral cuantificado de h/2πh/2πh/2\pi?

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