Hatcher 3.3.21: ¿Qué es un cono?

Su interpretación es correcta, pero no existe una vecindad en forma de cono de$\infty$en la compactación en 1 punto de$\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$. Si toma un subconjunto de la compactación de 1 punto de la forma$A=((-\infty,-1]\cup[1,\infty))\times\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$entonces hay una biyección continua$C\mathbb{Z}\to A$desde el cono$\mathbb{Z}$(enviando el cono sobre cada punto de$\mathbb{Z}$a uno de los intervalos rumbo a$\infty$). Sin embargo, hay dos cuestiones que impiden que este sea un barrio en forma de cono.

Primero,$A$ni siquiera es un barrio de$\infty$en la compactación de 1 punto. En la topología de compactación de 1 punto, cualquier vecindario de$\infty$debe contener un subconjunto compacto de$\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$, que debe contener la totalidad de$\{n\}\times\mathbb{R}$para todos menos un número finito$n\in\mathbb{Z}$. Entonces$A$no contiene ningún barrio de$\infty$, y de hecho todos los barrios de$\infty$tiene que contener infinitas copias completas de$\mathbb{R}$que se convierten en círculos cuando el punto en$\infty$está agregado. (La compactación de 1 punto se puede identificar con el espacio del arete hawaiano notoriamente patológico ).

En segundo lugar, incluso si estuviera tomando una compactación de 1 punto de$\mathbb{Z}\times[0,\infty)$en lugar de$\mathbb{Z}\times\mathbb{R}$(por lo que toda la compactación de 1 punto realmente se vería como un cono en$\mathbb{Z}$sin círculos), la biyección continua de$C\mathbb{Z}$todavía no sería un homeomorfismo. Como arriba, cada barrio de$\infty$en la compactación de 1 punto tendría que contener completamente todos menos un número finito de los bordes que salen a$\infty$. Por otro lado, la topología del cono es un cociente de la topología del producto en$\mathbb{Z}\times[0,1]$, por lo que una vecindad del punto del cono solo tiene que contener algún intervalo abierto alrededor del punto del cono en cada uno de sus bordes (que se pueden elegir de forma completamente independiente entre sí).