Rigidez de las variables aleatorias

en mi curso de teoría de la probabilidad, definimos una secuencia de variables aleatorias$(X_i)_{i=1}^{\infty}$estar apretado si para todo$\epsilon >0$, hay una constante$M$algo$P(|X_n|>M) < \epsilon$para todos$n \in \mathbb{N}$.

He visto los siguientes criterios de estanqueidad/falta de estanqueidad y me preguntaba si son ciertos o no:

• $(X_i)_{i=1}^{\infty}$apretado si existe$M$algo límite$_{n\to \infty} P(|X_n|>M) = 0$
• $(X_i)_{i=1}^{\infty}$no apretado si para todo$M$límite$_{n\to \infty} P(|X_n|>M)>0$

Estoy bastante seguro de que la primera es correcta (obtenemos la condición de que la probabilidad es menor que$\epsilon$para todos menos un número finito de n y puede tomar el máximo de todos los restantes$M$necesario para el número finito de n). Para el segundo no estoy tan seguro, estaba pensando que tal vez necesitamos un límite uniforme, es decir, lim$_{n\to \infty}P(|X_n|>M) \geq \epsilon>0$. Sé que el criterio es correcto si el límite es igual a 1.