Condición suficiente para la continuidad absoluta de las medidas

Question

Condición suficiente para la continuidad absoluta de las medidas

Matemáticas
teoría de la medida
teoría de probabilidad

quinn culver

Dejar $X=2^{\omega}$ (el espacio de secuencias binarias infinitas unidireccionales) y $\mathcal{P}(X)$ el espacio de medidas de probabilidad de Borel en $X$ . Una medida $\mu \in \mathcal{P}(X)$ es absolutamente continua con respecto a $\nu \in \mathcal{P}(X)$ , escrito $\mu \ll \nu$ , si para cada $\epsilon>0$ hay un $\delta>0$ tal que por cada Borel $B$ , si $\nu(B)<\delta$ entonces $\mu(B) < \epsilon$ .

Pregunta 1 ¿Basta con comprobar sólo los juegos de cilindros? Es decir, ¿es el caso de que $\mu \ll \nu$ Si por cada $\epsilon>0$ hay un $\delta>0$ tal que para cada cadena binaria finita $\sigma$ si $\nu([\sigma])<\delta$ entonces $\mu([\sigma]) < \epsilon$ , dónde y $[\sigma] = \{ x \in X: \sigma \text{ is an initial segment of } x\}$ ?

Pregunta 2 ¿Hay alguna colección contable $\mathcal{C}$ de conjuntos de Borel tales que $\mu \ll \nu$ Si por cada $\epsilon>0$ hay un $\delta>0$ tal que por cada $B \in \mathcal{C}$ , si $\nu(B)<\delta$ entonces $\mu(B) < \epsilon$ ?

Por supuesto, una respuesta afirmativa a la Pregunta 1 implica una respuesta afirmativa a la Pregunta 2.

Cirujano M

Esto realmente no responde a su pregunta, pero puede interesarle saber que una definición equivalente es la siguiente: "

μ ≪ ν

$\mu\ll\nu$ si y solo si

μ (B) = 0

$\mu(B)=0$ por cada Borel

B

$B$ tal que

ν (B) = 0

$\nu(B)=0$ ."

quinn culver

@MTurgeon Gracias, conozco esa definición. Mi objetivo es (o 'era' más bien, ahora que Davide Giraudo me ha mostrado la luz) evitar cuantificar sobre un conjunto incontable (por ejemplo, para cada Borel

B

$B$ ...), razón por la cual estaba considerando la

ϵ

$\epsilon$ -

δ

$\delta$ caracterización.

quinn culver

@DavideGiraudo Creo que deberías dejarlo ya que al menos responde la Pregunta 2.

quinn culver

@DavideGiraudo He respondido la Pregunta 1. ¿Podría (verificar mi respuesta) y volver a publicar su respuesta a la Pregunta 2? (Re-) aceptaré su respuesta.

Respuestas (2)

Condición suficiente para la continuidad absoluta de las medidas

Esto realmente no responde a su pregunta, pero puede interesarle saber que una definición equivalente es la siguiente: " $\mu\ll\nu$ si y solo si $\mu(B)=0$ por cada Borel $B$ tal que $\nu(B)=0$ ."
@MTurgeon Gracias, conozco esa definición. Mi objetivo es (o 'era' más bien, ahora que Davide Giraudo me ha mostrado la luz) evitar cuantificar sobre un conjunto incontable (por ejemplo, para cada Borel $B$ ...), razón por la cual estaba considerando la $\epsilon$ - $\delta$ caracterización.
@DavideGiraudo Creo que deberías dejarlo ya que al menos responde la Pregunta 2.
@DavideGiraudo He respondido la Pregunta 1. ¿Podría (verificar mi respuesta) y volver a publicar su respuesta a la Pregunta 2? (Re-) aceptaré su respuesta.

david giraudo · Answer 1

Recordar

Dejar $(\Omega,\mathcal B,m)$ un espacio de medida finita, y $\mathcal A\subset\mathcal B$ un álgebra generadora. Entonces para cada $\varepsilon>0$ , podemos encontrar $A\in\mathcal A$ tal que $m(A\Delta B)<\varepsilon$ .

(ver aquí para una prueba). Aplicaremos este resultado a $\mathcal A$ el álgebra generada por conjuntos cilíndricos.
Arreglar $\varepsilon>0$ . Podemos encontrar $\delta>0$ tal que para cada $A\in\mathcal A$ satisfactorio $\nu(A)\leqslant 2\delta$ entonces $\mu(A)\leqslant \varepsilon$ . Dejar $B\in\mathcal B(X)$ . Podemos encontrar $A\in\mathcal A$ tal que $\mu(A\Delta B)+\nu(A\Delta B)<\delta$ . Si $\nu(B)\leqslant \delta$ , entonces $\nu(A)\leqslant |\nu(B)-\nu(A)|+\nu(B)\leqslant 2\delta$ por eso $\mu(A)\leqslant \varepsilon$ . Podemos suponer que $\delta<\varepsilon$ . Entonces $\mu(A)\leqslant |\mu(B)-\mu(A)|+\mu(B)\leqslant 2\varepsilon$ .

Entonces si por todo $\varepsilon>0$ , tenemos podemos encontrar $\delta>0$ tal que si $A\in\cal A$ satisface $\nu(A)\leqslant 2\delta$ entonces $\mu(A)\leqslant \varepsilon$ , lo mismo ocurre reemplazando $\cal A$ por $\mathcal{B}(X)$ .

El álgebra generada por subconjuntos cilíndricos es contable.

Gracias. creo que desde $\mathcal{A}$ es la colección de uniones finitas de cilindros, su respuesta a 2. es técnicamente incorrecta.
@QuinnCulver En realidad, solo di una pista para 2. (pero debería haberlo mencionado explícitamente). Ahora creo que es más correcto.
Entonces, su respuesta en realidad no implica que la respuesta a mi Pregunta 1 sea "sí", ya que solo pregunto sobre los cilindros y no sobre el álgebra completa generada por ellos. ¿Bien? Tenga en cuenta que estoy muy complacido con esta respuesta, ya que dice que la continuidad absoluta solo debe verificarse en una colección computable de subconjuntos de $2^{\omega}$ .
Por cierto, ahora me gustaría hacer la(s) misma(s) pregunta(s) usando la definición estándar de $\ll$ : hay una colección contable $\mathcal{C}$ de conjuntos de Borel tales que $\mu \ll \nu$ si y si $\nu C =0 \Longrightarrow \mu C=0$ para cada $C \in \mathcal{C}$ . ¿De casualidad sabes la respuesta a eso? ¿Debo hacer una nueva pregunta o simplemente editar esta? (Tenga en cuenta que esto último podría requerir que rescinda mi aceptación de su respuesta actual).
¿No es el cilindro ya un álgebra? Por otro lado, creo que también funciona, ya que un conjunto de Borel puede aproximarse internamente mediante un cilindro. Entonces, si un conjunto de Borel tiene $\nu$ medida $0$ , cada subconjunto de cilindros tiene medida $\mu$ igual a $0$ .
Creo que un álgebra debe cerrarse bajo uniones (finitas), así que no, la colección de cilindros no es un álgebra (solo tome dos cadenas incomparables). No todos los conjuntos de Borel se pueden aproximar desde dentro mediante un cilindro: por ejemplo, la medida de Lebesgue de la unión finita de cilindros $[01] \cup [10]$ no puede ser aproximado por un solo cilindro.
@QuinnCulver Entiendo tu punto. Entonces, lo que hice funciona para la colección de uniones finitas de cilindros, no para los cilindros en sí. Pensaré (mucho) más profundamente en el problema.
Estoy eliminando mi aceptación de esta respuesta con la esperanza de que la Pregunta 1 llame la atención.
¿Podría decirme si cree que mi respuesta a la pregunta 1 es correcta?

quinn culver · Answer 2

Cualquier medida que no tenga átomos pero que no sea absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue es testigo de que la respuesta a la pregunta 1 es negativa .

Si $\mu$ no tiene átomos, debe satisfacer las $\epsilon$ - $\delta$ condición dada para los cilindros porque de lo contrario, hay $\epsilon>0$ tal que para todos $n$ hay $\sigma$ de longitud $n$ (es decir, medida de Lebesgue menor que $2^{-n}$ ) tal que $\mu([\sigma])> \epsilon$ . Pero la colección de todos esos $\sigma$ 's sería entonces un árbol infinito de ramas finitas y, por lo tanto, tendría un camino (según el lema de König ), que sería un átomo para $\mu$ .

Para un ejemplo concreto, tome el Bernoulli $(1/3, 2/3)$ medida $\mu$ (la medida que corresponde al proceso de lanzar una moneda al aire con una probabilidad de 1/3 de cara). Esta medida es claramente sin átomos, pero no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue ya que dice que el conjunto de secuencias nulas de Lebesgue sin el mismo número de $1$ es como $0$ tiene medida $1$ .

¿Qué significa "el mismo número de 1 que de 0" para secuencias infinitas?
@Yar Eso significa que $\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{# de 0 hasta norte el bit}{norte} = \frac{1}{2}$ $\lim_{n\to\infty}\frac{\text{# of 0's up to }n\text{th bit}}{n} = \frac{1}{2}$ .

Condición suficiente para la continuidad absoluta de las medidas

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Cirujano M

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