Suponer es un conjunto acronal en un espacio-tiempo . Y está cerrado. Al mismo tiempo, cualquier geodésica nula de se cruza . Entonces, ¿por qué cualquier curva temporal de a intersecarse , ¿también?
entiendo que cualquier punto pertenece a cualquiera , o o . Porque si , y hay una geodésica pasada nula a partir de , entonces debe cruzarse en . Elige cualquier punto y está en el futuro causal de , entonces hay una segunda geodésica nula de y se cruzan en . Por lo tanto, podemos encontrar una curva temporal que conecte a lo que implica que .
Pero desafortunadamente, no puedo encontrar la manera de mostrar una curva temporal desde a se cruza . ¿Me darías alguna pista, por favor?
Primero observe que si una curva causal dirigida hacia el futuro entra se quedará en ella porque con , implica , dónde son puntos en la curva. Dualmente una curva causal dirigida al pasado que entra permanece en ella. Dejar Sea una curva causal. te has dado cuenta de que . Suponer no se cruza pero se cruza y entonces donde por continuidad de los dos juegos del lado derecho están abiertos. Eso es, es la unión de dos conjuntos abiertos disjuntos (en la topología de inducida de la de la línea real) lo cual es imposible ya que es un espacio topológico conexo.