Prueba de homotopía de la falta de foliación de la métrica de Gödel

No veo cómo hacer esto usando la intersección mod 2, pero creo que se puede hacer de nuevo$\mathbb{Z}$de la siguiente manera.

Ya que$\mathbb{R}^4$es simplemente conexa, es orientable en el tiempo, es decir, podemos elegir continuamente en cada punto la mitad positiva del cono de luz. De manera similar, es orientable en el espacio: cualquier subvariedad tridimensional similar al espacio es orientable.

Ahora toma una hoja de la supuesta foliación, llámala$L$, y una curva temporal cerrada$\gamma$. El párrafo anterior implica que$\gamma$se cruza$L$"positivamente" en todas partes. El número total de puntos de intersección tomados con signo es un invariante de homotopía, si$L$es una subvariedad propia. Es un hecho estándar si$L$es compacto y sin límites, pero también funciona si$L$es simplemente adecuado (entonces el mapa exponencial normal tiene buenas propiedades).

Ya que$\mathbb{R}^4$es simplemente conexa, se sigue que$L$no puede cruzarse$\gamma$en absoluto (todas las intersecciones son positivas y, por lo tanto, no pueden cancelarse entre sí). Una contradicción, si podemos encontrar una adecuada$L$intersección$\gamma$.

No sé cómo reclamar propiedad (podría deducirse de la existencia de la métrica lorentziana), pero es esencial para este tipo de argumento. Consulte la foliación de Reeb , allí tiene una curva cerrada que se cruza con una hoja no propia una vez: el número de intersección no es un invariante de homotopía.

Editar: el intento anterior de intentar hacer que el "mod 2" funcionara fue incorrecto.

¿Qué motiva la suposición de que una curva temporal cerrada debe cruzar una rebanada espacial un número impar de veces?

No es una suposición. Y no es cierto para todas las variedades. Considerar$\mathbb S^2\times\mathbb R^2$como un subconjunto de$\mathbb R^6,$o solo

Entonces hay una superficie similar al espacio.$a=1.$

Y hay una curva temporal cerrada que la cruza dos veces, a saber, la curva

Entonces, ¿por qué es diferente a la solución de Gödel? La solución de Gödel es homeomorfa a$\mathbb R^4$para que puedas imaginar una curva en$\mathbb R^4$que comienza y termina en el mismo lugar. Aún mejor, puede ponerlo en la compactación de un punto e identificar$\mathbb R^4$como esa porción de$\mathbb S^4$sin el polo norte. Entonces el CTC es una curva en$\mathbb R^4$o una curva en$\mathbb S^4$que evita el polo norte.

Ahora, cuando tienes una superficie 3d en la variedad de Gödel, hay una superficie 3d correspondiente en$\mathbb R^4$o una superficie en$\mathbb S^4$(y la superficie puede ir al polo norte si de lo contrario parece que tiene un límite ya que luego solo considerará las deformaciones que evitan el polo norte, por lo que no importa si la superficie está allí o no).

Así que tienes una variedad diferente con una curva cerrada y una superficie 3D. Pero la nueva variedad es homeomorfa a$\mathbb R^4$y por eso una curva que pasa por la superficie 3d tiene que cruzarla un número impar de veces. E incluso entonces también se debe a que, dado que la curva original era temporal en todas partes, no puede ser tangente a la superficie original (ya que la superficie era espacial en todas partes) y, por lo tanto, las curvas vieja y nueva deben atravesar las superficies vieja y nueva respectivamente.

Así que vamos que si una curva atraviesa una superficie y nunca es tangente (entonces la atraviesa localmente) y usted está en$\mathbb R^4$globalmente y la superficie 3d no tiene un límite, entonces la curva cruza la superficie un número impar de veces. Bueno, debe atravesar un número impar de veces si perforan al menos una vez.

Pero, ¿qué teorema dice esto? ahora se trata$\mathbb R^4$por lo que podría parecer una pregunta de matemáticas puras. Pero los teoremas matemáticos están organizados por las técnicas que se utilizan para probarlos, por lo que puede tener teoremas que supongan que su variedad es suave (y$\mathbb R^4$es suave). Y mientras que la superficie 3d original en el universo de Gödel tiene una superficie diferenciable (era similar al espacio, por lo que tenía tangentes), un mero homeomorfismo no hace que la superficie 3d correspondiente en$\mathbb R^4$suave. Entonces, si tomó un libro al azar sobre la topología de la teoría Morse, no será uno de los teoremas más fáciles para tener una superficie 3D arbitraria. Incluso obtener un número finito de cruces es algo que debe probar, por no hablar de que es impar si es distinto de cero.

Pero si comenzó asumiendo que su espacio-tiempo era suave (algunas personas categóricamente hacen esto, y físicamente es incorrecto hacerlo, suponiendo que la suavidad a veces obliga a una variedad a desarrollar un tiempo cerrado como curvas cuando, de lo contrario, la Ecuación de Einstein no lo requería. Y para mí asumir que tiene viajes en el tiempo cuando no es necesario es casi lo peor que puede hacer. Al igual que usar el espacio que di arriba en lugar de uno con un tiempo lineal sería 100% y completamente inaceptable como una mera suposición). Luego, comenzar con una suposición de que la variedad original y la superficie son suaves podría dar el resultado allí mismo. Así que no me queda claro qué suposiciones quieres hacer.

Con razón, no deberías asumir que el universo de Gödel es suave, deberías probarlo si lo piensas. Pero ese es otro teorema que necesitas, uno que no es un teorema de matemáticas puras.