Sección del paquete O(1,n)O(1,n)\text{O}(1,n) versus sección del paquete de Grassmann

Si el paquete de marcos tiene una sección global$\{\theta^j\}_{j=0}^n$, entonces obtienes una métrica lorentziana por

$$g=-\theta^0\otimes\theta^0+\sum_{i=1}^n\theta^i\otimes\theta^i.$$ Sin embargo, esto es excesivo. Podrías simplemente seleccionar $\theta^0$, una métrica de Riemann $h$en $\mathscr M$, y deja $X$ser el doble de $\theta^0$con respecto a $h$. Entonces el procedimiento habitual da una métrica lorentziana $$g(Y,Z)=h(Y,Z)-2\frac{h(X,Y)h(X,Z)}{h(X,X)},\quad Y,Z\in\Gamma(T\mathscr M).$$ Pero la condición de que $\mathscr M$El paquete de marcos de admite una sección global implica que es paralelizable, es decir, $T\mathscr M\approx \mathscr M\times\Bbb R^n$. Para $\mathscr M$compacto, esto implica $\chi(\mathscr M)=0$por el teorema de Hopf. Así que no obtienes nueva información al presentar el problema bajo esta luz, porque es una condición mucho más fuerte.