Si un punto rrr se encuentra en el límite del futuro cronológico de otro punto ppp, ¿por qué el futuro cronológico de rrr pertenece al de ppp?

Estoy estudiando la causalidad global del espacio-tiempo. Aquí, me encuentro con un problema.

Supongamos un punto r ∈ ∂ I + ( pag ) . I + ( pag ) es el futuro cronológico de un punto diferente pag en el espaciotiempo. Entonces, se afirma que I + ( r ) ⊂ I + ( pag ) . ¿Pero por qué?

Permítanme primero probar esta conclusión. Me doy cuenta de que hay un teorema:

Deje que un subconjunto S ⊂ METRO ( METRO la variedad de espacio-tiempo) y establecer B = ∂ I + [ S ] . Entonces sí X ∈ B − S ¯ , existe una geodésica nula η ⊂ B con punto final futuro X y que es interminable en el pasado o tiene un punto final en el pasado S ¯ .

Entonces podemos establecer S = { pag } = S ¯ . Desde r ∈ ∂ I + ( pag ) y r ≠ pag , r ∈ B − { pag } con B = ∂ I + ( pag ) . Por lo tanto, hay una geodésica nula η Acostado B y de paso pag . ¿Es esto correcto?

¿Esto es tarea? ¿Qué definición estás usando para el futuro cronológico? Dependiendo de la definición, la transitividad de la relación podría ser trivial.
No, no es tarea. Lo estoy aprendiendo por mi cuenta. De hecho, leí Técnicas de topología diferencial en relatividad de Penrose. En este libro, definió el futuro cronológico de un punto pag como el conjunto de puntos que están conectados a pag a través de viajes. Un viaje es una curva que es por partes una geodésica temporal orientada hacia el futuro. También podemos usar curvas temporales para definir el futuro cronológico.
@DrakeMarquis: No he leído el libro, pero según esa definición, r no está (o al menos no está necesariamente) en el futuro cronológico de pag . ¿Está seguro de que los segmentos no pueden ser nulos? Si lo son, entonces creo que tu prueba puede funcionar: demuestras que r ∈ I + ( pag ) al exhibir un viaje (aunque debe demostrar que no es un pasado interminable), y luego el resultado se deriva de la transitividad de "está en el futuro cronológico de", que es trivial (pegue los viajes juntos). Si no lo son, entonces no veo cómo usar la geodésica nula que encontraste, o de qué otra manera probar este resultado.
@benrg Los segmentos no deberían ser nulos. Debo mostrar que el viaje debe terminar a las pag , que es difícil para mí...
@benrg Me di cuenta ahora que podría ser una mejor idea usar la propiedad del límite. r ∈ ∂ I + ( pag ) , entonces r es un punto límite que implica que cualquier conjunto abierto O que contiene r se cruza I + ( pag ) . Solo tengo que demostrar que O ∩ I + ( r ) pertenece a I + ( pag ) ... pero no estoy seguro de cómo hacerlo... Por cierto, r ∉ I + ( pag ) antes de Cristo r está en el límite.
@DrakeMarquis: ¿Qué tal esto? Arreglar s ∈ I + ( r ) . Entonces r ∈ I − ( s ) y desde I − ( s ) es abierto, contiene algún barrio de r . Elija una secuencia de puntos en I + ( pag ) convergiendo en r , elija un punto de la secuencia que interseca el vecindario y pegue los viajes juntos.

Respuestas (1)

@benrg Lo tengo. Siga su sugerencia de la primera mitad. Elegir s ∈ I + ( r ) , entonces r ∈ I − ( s ) . I − ( s ) ∩ I + ( pag ) ≠ ∅ . Elige cualquier punto q ∈ I − ( s ) ∩ I + ( pag ) . Hay un viaje de q a s , y al mismo tiempo, hay viaje desde pag a q , así que pega los 2 viajes para obtener un tercero de pag a s . Por lo tanto, s ∈ I + ( pag ) . s es un punto arbitrario en I + ( r ) , entonces I + ( r ) ⊂ I + ( pag ) . ¡Gracias!

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