Fuerte causalidad en "GR y las ecuaciones de Einstein" de Choquet-Bruhat

Tengo problemas para entender la definición de Choquet-Bruhat de un espacio-tiempo fuertemente causal ("GR y las ecuaciones de Einstein", OUP, sec. XII.10). Aquí define un espacio-tiempo fuertemente causal como una variedad de Lorentz orientada en el tiempo.$(M,g)$tal que

para cualquier$x\in M$y cualquier barrio$\Omega$de$x$hay un barrio$U\subseteq \Omega$tal que$I_{x}^{+}\cap U$está conectado

Aquí$I_{x}^{+}$es como siempre el futuro cronológico de$x$.

Ahora, aparte del hecho de que$U$podría interpretarse como un barrio de$x$o como un vecindario genérico, es decir, un conjunto abierto genérico, que no necesariamente contiene$x$(Me inclino por la primera posibilidad, pero las diferentes definiciones de la condición de causalidad fuerte me hacen preguntarme si esto es así), me parece que incluso el toro de Minkowski tiene esta propiedad, y como un toro de Minkowski posee causalidad cerrada curvas, esto no puede ser posible. Por toro de Minkowski me refiero al conjunto$[-1,+1]\times [-1,+1]$con métrica$g=-dt^2+dx^2$cociente en sus lados como en la construcción usual para el toro único, y orientación dada por$\partial/\partial t$.

La prueba de la validez de la propiedad del toro es la siguiente. Considere el punto$p=(0,0)$y cualquier otro punto$q=(t_{q},x_{q})$con$|x_{q}|<1$. Construya una curva suave por partes uniendo la geodésica temporal dirigida hacia el futuro que va desde$p$a$q'=(1,x_{q})$y la geodésica temporal dirigida al futuro que va desde$q''=(-1,x_{q})$a$q$. Modulo identificaciones que provienen del cociente,$q'=q''$, y la curva está bien definida y es temporal. Como para$q=(t_{q},±1)$, construya una curva suave por partes yendo primero desde$p$por el lado$t=1$por medio de una geodésica dirigida al futuro similar al tiempo, luego yendo desde el$t=-1$lado a la$x=1$(o$x=-1$) lado de nuevo a través de una geodésica dirigida al futuro similar al tiempo, luego, si es necesario, subiendo verticalmente por la$x=1$(o$x=-1$) lado. Es fácil ver que ajustando la inclinación de las geodésicas y módulo las identificaciones dadas por el cociente, cualquier punto en el$x=\pm 1$puede alcanzarse por medio de una curva suave a trozos dirigida hacia el futuro similar al tiempo. Esto muestra que$I_{p}^{+}$es igual a todo el toro: en el toro de Minkowski, cada punto está en el futuro cronológico de$p$(por supuesto uno puede ir de$p$a$p$también, siguiendo una geodésica cerrada vertical dirigida hacia el futuro). Por lo tanto, como$a\,\partial /\partial t + b\, \partial/\partial x$con$a$y$b$constantes arbitrarias es Killing para la métrica, el toro de Minkowski es$\Bbb{R}^{2}$-homogéneo y lo mismo debe ser cierto para cualquier$p$en el toro. Resulta que$I_{p}^{+}\cap V=V$para cualquier$p$y cualquier subconjunto$V$en el toro, de modo que para cualquier$p$y cualquiera$\Omega$el componente conexo de$\Omega$que contiene$x$es el barrio conectado que estamos buscando. No puedo ver por qué esta prueba debería fallar, pero como no soy un experto en el campo, bien podría haber algo que me estoy perdiendo.

No puedo entender lo que está yendo mal. Aunque pensé que podría haber un error en el libro (como encontré muchos antes). En otro lugar, encontré definiciones de espaciotiempos fuertemente causales en términos muy diferentes y entendí la mayoría de ellos (por ejemplo, la definición de Penrose en términos de vecindades causalmente convexas). ¿Alguien sabe cómo la definición de Choquet-Bruhat es equivalente a las más comunes?