Picaduras en el espacio de bucle de curvas temporales

En el artículo de Smith sobre grupos de homotopía para variedades de Lorentz, construye el espacio de bucle de todos los bucles temporales de la siguiente manera:

• Considere todas las curvas temporales continuas por tramos que comienzan y terminan en el punto$x$. Esto incluye curvas temporales con$q$cambios en la orientación temporal (el vector tangente del final de un segmento tiene una orientación temporal opuesta al comienzo del siguiente)
• Incluir también en el grupo las picaduras basadas en$x$, que están hechos de caminos arbitrarios$\gamma$de la siguiente manera: un aguijón es una curva de la forma$\gamma \ast \gamma^{-1}$, con$\gamma(0) = x$.
• Incluir inserciones de picaduras en caminos. por un camino$\gamma$, considere un punto$y$en$\gamma$, y lo descomponemos en dos caminos$\gamma = \gamma_+ \ast \gamma_-$, con$\gamma_+(1) = y$. La inserción de una picadura$f \ast f^{-1}$en$y$es$\gamma^* = \gamma_+\ast f\ast f^{-1} \ast \gamma_-$.
• El camino constante también está incluido en él,$e(\lambda) = x$

El espacio del bucle se define entonces por todos esos elementos, y la composición de la ruta$\ast$tiene una estructura de grupo.

La motivación para la inclusión de las picaduras dadas parece ser que permite la estructura del grupo (aunque eso tampoco se dice claramente), pero eso no parece correcto, ya que la ruta constante y las curvas temporales parecen suficientes para eso. ¿Cuál es el propósito de agregar picaduras al espacio del bucle? Todas las curvas involucradas serán equivalentes a una curva sin aguijón de todos modos.