Si el trabajo es una medida escalar, ¿por qué a veces lo representamos como el producto de la fuerza (un vector) y la distancia (un escalar)?

Considere un objeto que es empujado 3/4 de la distancia alrededor de una pista circular. El trabajo realizado sobre el objeto sería la distancia de 3/4 de la circunferencia de la pista multiplicada por la fuerza aplicada al objeto (dado que fue empujado con una fuerza constante). Ya que estamos multiplicando un vector por un escalar, ¿por qué el trabajo es una medida escalar? ¿O el trabajo realizado sobre el objeto en realidad sería solo fuerza por desplazamiento? Gracias.

Respuestas (4)

El trabajo es el producto punto de una fuerza vectorial y un desplazamiento vectorial, por lo tanto, un escalar.

Saber solo la distancia escalar no es suficiente para calcular el trabajo. Esa distancia puede estar en la misma dirección que la fuerza, pero puede ser perpendicular o incluso opuesta. Todos ellos darían diferentes valores por el trabajo realizado.

La definición general de trabajo es

W = ∫ F ⋅ d X
Lo que esencialmente dice: "Sume todos los productos escalares entre el vector fuerza F y el vector desplazamiento d X a lo largo de la trayectoria por la que viaja el objeto". Dado que estamos sumando productos escalares, que son cantidades escalares, el trabajo realizado por una fuerza también es una cantidad escalar.

La confusión puede surgir con casos específicos. Por ejemplo, si la fuerza siempre apunta paralelamente a la trayectoria, entonces el producto escalar se convierte en el producto de las magnitudes

W = ∫ F d X

Y luego, si la fuerza es de magnitud constante, obtenemos el "trabajo de física basado en álgebra"

W = F ∫ d X = F Δ X

Pero ahora tenemos una magnitud de fuerza escalar F multiplicado por una distancia escalar Δ X . en esta ecuacion F no es un vector, sino su magnitud, y Δ X no es un vector, sino que es la longitud total del camino.

Con el trabajo, nunca tendrás un vector multiplicado por un escalar, ya que eso dará como resultado una cantidad vectorial, que no funciona (el juego de palabras siempre fue la intención) porque el trabajo es una cantidad escalar.

¡Gracias por la respuesta detallada! Entonces, ¿el trabajo sería realmente el producto escalar de la fuerza y ​​el desplazamiento? ¿Significaría esto que si, digamos, un objeto fuera empujado alrededor de una vuelta y terminara donde comenzó, el trabajo total aplicado al objeto sería de 0 julios? Parece contradictorio, pero veo cómo funciona.
@R_4127 No, no sería 0 . Dado cómo llegamos a la ecuación final Δ X no es el desplazamiento desde el principio hasta el final, es la distancia recorrida a lo largo del camino, que no es 0 .
Entonces Δ X no es la magnitud del desplazamiento, sino la “distancia” en el desplazamiento?
@R_4127 Es la longitud del camino. No tiene nada que ver con un desplazamiento (como en X final − X inicial ). Es por eso que pasé por la "derivación" de la ecuación en mi respuesta. Antes de usar una fórmula física, debe asegurarse de saber qué significan las variables y cuándo se puede aplicar la ecuación. Espero que mi respuesta ayude a dar ese contexto :)
@ R_4127 Ni siquiera es la longitud del camino o el desplazamiento. Es la suma total del producto escalar de dos vectores en cada pequeño paso de tiempo a lo largo del camino. Para una línea recta muerta, sin cambio de dirección, con una fuerza constante, eso resulta ser fuerza por desplazamiento. Para que cualquier cosa sea empujada alrededor de una vuelta, la fuerza también cambiará de dirección, y eso hace que el resultado no sea cero.
@Graham En realidad en mi ecuación final Δ X es la longitud del camino.
Sí, @ R_4127 tienes razón. Si se empuja un objeto y termina en el mismo lugar con la misma velocidad, entonces el trabajo realizado es cero. Esto se debe a que Δx es cero. Si el objeto tiene la misma posición y velocidad, entonces la energía potencial y cinética que tenía antes y después del movimiento es la misma; por lo tanto, no se ha realizado ningún trabajo sobre él. Cómo viajó entre el principio y el final no tiene relevancia. Sin embargo, recuerda que esto es física, no el mundo real. En Física no hay fricción ni resistencia del aire, por lo que el trabajo siendo cero no es intuitivo.
@DavidReidy Eso es completamente incorrecto. Por favor, no engañes al OP. El hecho de que un objeto comience y se detenga en la misma posición no significa que el trabajo realizado por cierta fuerza sea 0 . También en mi ecuación final Δ X no es el desplazamiento entre el inicio y el final del camino. Y finalmente, la física definitivamente puede tomar en cuenta la fricción y la resistencia del aire.
@AaronStevens Si un objeto tiene las mismas condiciones iniciales y finales, entonces no se ha realizado ningún trabajo neto sobre él, ya que no hay un cambio neto en su energía potencial ni en su energía cinética. Con respecto a ignorar la fricción, etc., esta es claramente una pregunta de física clásica en la que es habitual ignorar factores extraños para ilustrar más claramente un principio.
@DavidReidy Primero, si el cambio de energía cinética de un objeto es 0 , entonces el trabajo neto realizado sobre el objeto es 0 . Esto no tiene nada que ver con las posiciones inicial y final. Pero aún más importante para esta respuesta es que solo se trata del trabajo realizado por una fuerza, no del trabajo neto. El trabajo neto puede ser 0 mientras que las fuerzas individuales realizan un trabajo distinto de cero. En todo caso, Δ X en mi ecuación no es desplazamiento, y 0 el desplazamiento no dice nada sobre el trabajo realizado por fuerzas individuales o incluso el trabajo neto realizado por todas las fuerzas.

El trabajo es el producto escalar de la fuerza y ​​el desplazamiento, y el desplazamiento es un vector; tenemos que tener en cuenta en qué dirección está apuntando. Si un objeto viaja en un círculo, entonces debe tener una fuerza centrípeta, por lo que no tiene una fuerza constante. Sin embargo, podría tener una fuerza de magnitud constante . La fuerza centrípeta es perpendicular al desplazamiento, por lo que el trabajo realizado por la fuerza centrípeta es cero.

Si observa una pelota lanzada en un ángulo de 45 grados, la velocidad de la pelota comienza con un componente hacia arriba, mientras que la gravedad apunta hacia abajo. Como el ángulo entre ellos es de más de 90 grados, el producto escalar es negativo; la gravedad está disminuyendo la energía cinética de la pelota. En el punto máximo de su trayectoria, la velocidad es perpendicular a la gravedad, por lo que, en ese momento, la gravedad no está realizando ningún trabajo (puede verificarlo escribiendo una ecuación para su energía cinética en términos de tiempo y luego tomando la derivada con respecto al tiempo). Una vez que las bolas comienzan a bajar, el ángulo entre su velocidad y la gravedad es menor de 90 grados, por lo que la gravedad está trabajando sobre ellas y está acelerando.

" Si un objeto viaja en un círculo, entonces tiene que tener una fuerza centrípeta, por lo que no tiene una fuerza constante. " No tiene una fuerza neta constante actuando sobre él. Pero una fuerza constante aún puede estar actuando sobre él. Esta respuesta es un poco engañosa porque sugiere que el único trabajo que considera es el trabajo en red, que no es el único caso. El movimiento circular, incluso si es un movimiento circular uniforme, no significa necesariamente que cualquier trabajo que mire será 0 .
@AaronStevens "No tiene una fuerza neta constante actuando sobre él". Eso es lo que significa "fuerza", sin calificación. Por ejemplo, si digo "Mi peso es X", no necesito especificar "El peso de todo mi cuerpo". "El movimiento circular, incluso si es un movimiento circular uniforme, no significa necesariamente que cualquier trabajo que mires sea 0". Por eso dije específicamente "el trabajo realizado por la fuerza centrípeta es cero".

La razón de esto es que su comprensión de la definición de trabajo contiene un error:

"producto de... distancia (escalar) "

El trabajo no se define utilizando un producto de fuerza y ​​una "distancia", sino un desplazamiento . Un desplazamiento es la diferencia de dos posiciones, que son puntos, y los desplazamientos son vectores. Entonces, en realidad es el producto escalar de dos vectores, que, a su vez, es un escalar.

Dicho esto, creo que lo que puede estar preguntando aquí es que a veces se ve una fórmula simple solo escalar que parece

W = F d

donde involucramos solo las magnitudes (escalares) de fuerza y ​​desplazamiento. Esta fórmula solo funciona en una dimensión (*), o bien que la fuerza y ​​el desplazamiento están actuando en la misma línea. De lo contrario, parece

W = F d porque ⁡ θ

dónde θ es ahora el ángulo entre sus líneas de acción, y este ahora es exactamente el producto punto de los vectores.

No existe una fórmula "vectorial por escalar" para el trabajo. De hecho, tal cosa sería, como usted sugiere, un vector, y el trabajo no es un vector.

(*) Técnicamente, en una dimensión también es un producto escalar de dos vectores, pero hay poca diferencia funcional entre un vector de dimensión 1 y un escalar, matemáticamente. Dicho esto, sigo pensando que puede ser útil tener en cuenta esta distinción como una cuestión de claridad conceptual. Un vector de dimensión 1 tiene una sola componente:

v = ⟨ v X ⟩

pero pertenece a un "tipo de datos" diferente, por así decirlo, que los escalares (números reales) y esto tiene algunas consecuencias algebraicas importantes, como que no se puede agregar "sensatamente" una cantidad vectorial unidimensional y un número real escalar.

Si el trabajo es una medida escalar, ¿por qué a veces lo representamos como el producto de la fuerza (un vector) y la distancia (un escalar)?
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