¿Cuál es el trabajo realizado si un objeto se mueve en una trayectoria circular? (No en movimiento circular)

Para esta respuesta supondré que la persona está empujando la caja con fuerza$F$en la dirección del movimiento (tangente al círculo).

El trabajo realizado está dado por

$$W = \int \vec F \cdot d\vec s$$ dónde$\vec F$es el vector fuerza aplicada y$d \vec s$es el desplazamiento vectorial infinitesimal . Esta es una integral de trayectoria .

Dado que la dirección de la fuerza está cambiando, no podemos simplemente cambiar la integral a$|F||s|$. El desplazamiento total en este caso, desde que regresaste al punto de partida, es exactamente cero.

Tenemos que considerar la fuerza y ​​el desplazamiento en cada punto a lo largo del camino (con cálculo). Afortunadamente, hay una simplificación para evitar el cálculo. Pasemos a las coordenadas polares.

$$\vec F = F_0 \hat \theta$$ $$d\vec s = r d\theta \, \hat \theta$$ Para que podamos combinar e integrar$\theta$de$0\to2\pi$. $$W = \int \limits_0^{2\pi} F_0 r d\theta \, (\hat \theta \cdot \hat \theta)$$ La ventaja aquí es que en coordenadas polares,$\vec F$y$d \vec s$ son constantes. Cuando integramos una constante, podemos simplificar a solo la multiplicación: $$W = F_0 r \theta |_0^{2\pi}= F_0 r \times 2 \pi$$ En particular, esto es solo$F$veces la longitud total del camino$2\pi r$.

Versión sin cálculo : La obra es la suma de$\vec F \cdot \Delta \vec x$en cada punto del camino, si$\theta$es el ángulo entre la fuerza y ​​el desplazamiento (dirección del movimiento) y$\theta$es constante, entonces el trabajo realizado es$Fd\cos(\theta)$. Dado que aquí la fuerza siempre es paralela a la dirección del movimiento, es solo$Fd$dónde$d$es la longitud total del camino ($d=2\pi r$).

Resumen: El punto clave aquí es el producto escalar de la fuerza y ​​el desplazamiento en cada punto a lo largo de la trayectoria . Si consideraste la fuerza normal ejercida por el suelo (que es perpendicular al desplazamiento de la caja), no habría realizado ningún trabajo sobre la caja.