¿Cuál es el significado físico del trabajo?

Su ecuación no es del todo correcta: lo que describió da el trabajo diferencial$dW$. El trabajo realizado sobre una partícula se define de acuerdo con una integral de línea:

dónde$C$es el camino que toma la partícula,$\vec{F}$es la fuerza que actúa sobre la partícula (que puede ser una función de la posición), y$d\vec{s}$es el elemento de línea diferencial a lo largo del camino.

Tienes razón en que el producto escalar representa una proyección de un vector sobre otro. Intuitivamente, esta integral es el equivalente matemático de decir "en cada punto a lo largo del camino, calcule cuánto el campo vectorial$\vec{F}$está contribuyendo al movimiento de la partícula al encontrar la proyección de la fuerza en la trayectoria real y sumarlo todo".

Sí, el producto escalar $\vec a\cdot \vec b$simboliza matemáticamente la proyección de un vector sobre el otro. En otras palabras: el producto escalar multiplica las componentes paralelas :

un producto cruzado $\vec a\times \vec b$es un poco lo contrario. La (longitud de) un producto cruzado son los componentes perpendiculares multiplicados.

A menudo los verás matemáticamente en estas formas:

La última versión en cada línea es conveniente, ya que el coseno se ocupa de las componentes paralelas y descarta las perpendiculares, mientras que el seno hace lo contrario.$\theta$es el ángulo entre los dos vectores.

Estas son meras invenciones matemáticas, sí. Nada mas. Y resulta que son muy útiles para describir muchos fenómenos físicos, porque muchas cosas en la física solo suceden entre componentes paralelos o perpendiculares.

Por ejemplo:

• Para apretar un tornillo con una llave, tira de forma perpendicular; tirar de la llave en paralelo no hará que gire (simplemente se soltará). Por lo tanto, el momento se define con un producto vectorial:$\vec \tau = \vec F \times \vec r$.
• El trabajo es energía añadida cuando se empuja algo, es decir, si empujas desde un lado un tren de juguete que se mueve en su vía, entonces no estás añadiendo energía a su movimiento. No se mueve hacia los lados (la pista lo mantiene en su lugar) y tu esfuerzo fue en vano. Solo si empuja junto con el movimiento agregará energía y hará que se acelere. Por lo tanto, el trabajo se define como un producto escalar.$W=\vec F\cdot \vec s$.

En el ejemplo del tren de juguete, si empujas en dirección opuesta al movimiento, le quitas energía al tren y lo ralentizas. Estás haciendo un trabajo, pero ese trabajo es negativo.

Como puede ver, todas las fuerzas paralelas funcionan (negativas si son antiparalelas), mientras que todas las fuerzas laterales no hacen nada. Si empuja en ángulo, entonces solo el componente paralelo de su fuerza tiene influencia. Todo esto está incluido en la expresión coseno matemática del producto escalar.$W=Fs\;\cos(\theta)$, porque un coseno es cero, cuando el ángulo es$90^\circ$.