Cálculo de la energía del estado fundamental en un gas de electrones (Jellium)

$\renewcommand{\phi}{\varphi} \newcommand{\vec}[1]{\textbf{#1}}$

Esto es bastante largo porque seguí teniendo ideas mientras escribía esto.

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Considere un gas de electrones en un cubo de longitud de lado$L$,$V=L^3$, con condiciones de contorno periódicas.

El hamiltoniano está dado por$\hat{H} = \hat{H}_\text{el} + \hat{H}_\text{b} + \hat{H}_\text{el$-$b}$, y hacemos algunas aproximaciones y límites para llegar a su forma final (escribir$\lvert \vec{k}\rvert \equiv k)$,

$$\begin{equation*} \hat{H} = \frac{e^2}{a_0 r_s^2} \left(\sum_{\vec{k},\alpha}\frac{k^2}{2}\hat{a}_{\vec{k},\alpha}^\dagger\hat{a}_{\vec{k},\alpha}^{\phantom{\dagger}}+\frac{r_s}{2V}\sum_{{\underset{\vec{q}\neq0}{\vec{k,p,q}}}}\sum_{\alpha_1,\alpha_2}\frac{4\pi}{q} \hat{a}_{\vec{k+q},\alpha_1}^\dagger \hat{a}_{\vec{p-q},\alpha_2}^\dagger \hat{a}_{\vec{k},\alpha_1}^{\phantom{\dagger}} \hat{a}_{\vec{p},\alpha_2}^{\phantom{\dagger}} \right), \end{equation*}$$

con operadores de creación fermiónicos$\hat{a}^\dagger$. Aquí,

$$r_0\equiv\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi N}},\quad a_0 \equiv \frac{\hbar^2}{me^2},\quad r_s\equiv\frac{r_0}{a_0}.$$

Llame al primer término$\mathcal{A}$, el segundo$\mathcal{B}$. Vemos eso$\mathcal{B}$es una perturbación en el límite de alta densidad$r_s\rightarrow0$. Por lo tanto, la energía del estado fundamental de esto se puede escribir como$E = E^{(0)}+E^{(1)}+\ldots$dónde$E^{(0)}=\langle F|\mathcal{A}|F\rangle$para el estado fundamental$\vert F\rangle$de$\mathcal{A}$, que es el mar de Fermi, momentos llenos hasta$p_F = \hbar k_F$.

Deseamos calcular ambos$\langle F|\mathcal{A}|F\rangle$y$E^{(1)}=\langle F|\mathcal{B}|F\rangle$. Primero, necesitamos determinar$k_F$. Hacemos esto observando el valor esperado del operador numérico (en el límite, reemplazamos las sumas sobre$\vec{k}$por integrales por un factor).

Y ahora comienza mi confusión. En el siguiente cálculo, tengo una especie de argumento ondulado para pasar de$(\star)$a$(\star\star)$, pero no estoy cien por ciento seguro.

$$\begin{align*} N = \langle F|\hat{N}|F\rangle&=\frac{V}{(2\pi)^3}\sum_\alpha\int\mathrm{d}^3k\langle F|\hat{a}_{\vec{k},\alpha}^\dagger \hat{a}_{\vec{k},\alpha}^{\phantom{\dagger}} |F\rangle\\[1em] &=\frac{V}{4\pi^3}\int\mathrm{d}^3k\langle F|\hat{a}_{\vec{k}}^\dagger \hat{a}_{\vec{k}}^{\phantom{\dagger}} |F\rangle \tag{$\star$}\\[1em] &=\frac{V}{4\pi^3}\int\mathrm{d}^3k \,\Theta(k_F - k)\tag{$\star\star$} \\[1em] &=\frac{Vk_F^3}{3\pi^2} \end{align*}$$ Básicamente, estamos diciendo que tenemos el mar de Fermi, por lo que no hay partículas de momento arriba $k_F$, es decir, el integrando debería desaparecer (entonces diríamos que la integral es cero, porque las constantes son 0 o 1 en física). Así que necesitamos que la función de paso tenga en cuenta eso.

Pero en realidad no entiendo qué$\hat{a}_\vec{k}\vert F\rangle$es. No veo qué sucede cuando aniquilamos este estado fundamental en particular. Bueno, no puede ser cero, ¿verdad?

Y ahora, mientras escribía esto, me di cuenta de que debemos tener

$$\vert F\rangle = \sum_\alpha \int \text{d}^3k\, \Theta(k_F - k) \hat{a}_{\vec{k},\alpha}^\dagger |0\rangle,$$ ¿bien? Porque entonces podemos calcular fácilmente $$\begin{align*} \hat{a}_{\vec{k},\alpha}|F\rangle = \Theta(k_F-k)\vert 0\rangle\implies\langle F|\hat{a}_{\vec{k},\alpha}^\dagger \hat{a}_{\vec{k},\alpha}^{\phantom{\dagger}} |F\rangle=\lVert \hat{a}_{\vec{k},\alpha}|F\rangle\rVert^2=\Theta(k_F-k), \end{align*}$$ y así la transición de $(\star)$a $(\star\star)$se explica

Pero esto no fue todo ni mucho menos. Como se mencionó anteriormente, queremos calcular los valores esperados de$\mathcal{A}$y$\mathcal{B}$en el mar de Fermi, utilizando el hecho de que$k_F\approx 1.92\cdot r_0^{-1}$. Los resultados deben ser

$$\begin{align*} \tag{$R\mathcal{A}$}\frac{2.21}{2} \frac{N e^2}{a_0 r_s}\\[1em] \tag{$R\mathcal{B}$}-\frac{0.916}{2}\frac{N e^2}{a_0 r_s}. \end{align*}$$ Mi problema ahora es que ni siquiera puedo derivar el primero, $(R\mathcal{A})$. Esto es lo que hice: $$\begin{align*} E^{(0)} &=\frac{V}{8 \pi^3}\frac{e^2}{a_0 r_s^2}\frac{1}{2}\sum_\alpha\int \text{d}^3 k\, k^2 \Theta(k_F-k)\\[1em] &= \frac{V}{2 \pi^2}\frac{e^2}{a_0 r_s^2}\int_0^{k_F} \text{d}k\,k^4\\[1em] &= \frac{V}{2 \pi^2}\frac{e^2}{a_0 r_s^2}\frac{k_F^5}{5}\\[1em] &= \frac{1.92^5}{10 \pi^2}\frac{V e^2}{a_0 r_s^2}r_0^{-5} = \frac{1.92^5}{10 \pi^2}\frac{V e^2}{a_0 r_s^2r_0^2}\frac{4\pi N}{3V}\\[1em] &= \frac{2\cdot 1.92^5}{15 \pi}\frac{N e^2}{a_0 r_s^2r_0^2}\\[1em] &\approx \frac{2.21}{2}\frac{N e^2}{a_0 r_s^2r_0^2}. \end{align*}$$ Esto obviamente no es lo mismo que $(R\mathcal{A})$, desde $r_s r_0^2 = {}^{r_0^3}/_{a_0}\neq 1$.

Y si eso está mal, ni siquiera me atrevo a intentarlo.$(R\mathcal{B})$, entonces: ¿Qué hice mal/no entendí bien?

¡Gracias!