Series con términos complejos, convergencia

Question

Series con términos complejos, convergencia

Matemáticas
secuencias y series
convergencia divergencia

Andrés

¿Podría decirme cómo determinar la convergencia de series con términos que son productos de números reales y complejos, así:

$\sum_{n=1} ^{\infty}\frac{n (2+i)^n}{2^n}$ , $\ \ \ \ \sum_{n=1} ^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n} +i}$ ?

Yo sé eso $\sum (a_n +ib_n)$ es convergente iff $\sum a_n$ converge y $\sum b_n$ converge

(¿Cómo) puedo usarlo aquí?

JM no es matemático

Bueno, si puedes probar la convergencia absoluta, por ejemplo...

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Series con términos complejos, convergencia

Bueno, si puedes probar la convergencia absoluta, por ejemplo...

usuario63181 · Answer 1

Tenemos

| \frac{norte (2 + i)^{norte}}{2^{norte}} | = norte {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{norte} ↛ 0

$\left|\frac{n(2+i)^n}{2^n}\right|=n\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^n\not\to0$ entonces la serie

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n (2 + i)^{n}}{2^{n}}

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n(2+i)^n}{2^n}$ es divergente

Para la segunda serie tenemos

\frac{1}{\sqrt{norte} + i} \sim_{\infty} \frac{1}{\sqrt{norte}}

$\frac{1}{\sqrt{n}+i}\sim_\infty\frac{1}{\sqrt{n}}$ entonces la serie

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} + i}

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}+i}$ también es divergente.

Gracias. ¿Podría decirme si puedo usar la prueba de raíz de Cauchy para $(\frac{n(2-i)+1}{n(3-2i)-3i})^n$ ?
@Andrew Sí, si denotamos por $u_n$ tu expresión dada entonces tenemos $\sqrt[norte]{| {tu}_{norte} |} = | \frac{norte (2 - i) + 1}{norte (3 - 2 i) - 3 i} | = \sqrt{\frac{5 {norte}^{2} + 4 norte + 1}{13 {norte}^{2} + 12 norte + 9}} \to \sqrt{\frac{5}{13}} < 1$ $\sqrt[n]{|u_n|}=\left|\frac{n(2-i)+1}{n(3-2i)-3i}\right|=\sqrt{\frac{5n^2+4n+1}{13n^2+12n+9}}\to\sqrt{\frac{5}{13}}<1$ por lo que la serie es convergente.

vonbrand · Answer 2

Al igual que para series de reales (después de todo, los teoremas subyacentes están en los números complejos).

Tu primera serie no converge. Por la prueba de la razón, como $n \rightarrow \infty$ :

| \frac{(norte + 1) (2 + i)^{norte + 1} / 2^{norte + 1}}{norte (2 + i)^{norte} / 2^{norte}} | = | \frac{(norte + 1) (2 + i)}{2 norte} | = \frac{(norte + 1) \sqrt{5}}{2 norte} \to \frac{\sqrt{5}}{2}

$\lvert \frac{(n + 1) (2 + i)^{n + 1}/2^{n + 1}}{n (2 + i)^n / 2^n} \rvert = \lvert \frac{(n + 1) (2 + i)}{2 n} \rvert = \frac{(n + 1) \sqrt{5}}{2 n} \rightarrow \frac{\sqrt{5}}{2}$

Series con términos complejos, convergencia

Andrés

JM no es matemático

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usuario63181

Andrés

usuario63181

vonbrand

Teorema 3.55 en Baby Rudin: ¿Cómo dar sentido a la demostración?

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

convergencia de la serie ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} para x>0x>0x>0

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

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Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

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