Verifique que todos los juegos de cilindros estén abiertos.

En la segunda parte de (a) tienes que probar:

si$v,w\in\Sigma^*$, y$x\in B(v)\cap B(w)$, entonces hay un$u\in\Sigma^*$tal que$x\in B(u)\subseteq B(v)\cap B(w)$.

Dejar$v=v_1 v_2\ldots v_m$y$w=w_1 w_2\ldots w_n$. Entonces$x_k=v_k$para$k=1,\ldots,m$, y$x_k=w_k$para$k=1\ldots n$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que$m\le n$, de modo que$v_k=x_k=w_k$para$k=1,\ldots,m$. afirmo que$B(w)\subseteq B(v)$.

Suponer que$y\in B(w)$; entonces$y_k=w_k$para$k=1,\ldots,n$, así que en particular$y_k=w_k=v_k$para$k=1,\ldots,m$, y por lo tanto$y\in B(v)$. De este modo,$B(w)\subseteq B(v)$, y por lo tanto$x\in B(w)\subseteq B(v)\cap B(w)$. Es decir, puede tomar$u=w$.

Para (b) sabe que los conjuntos de cilindros son abiertos por definición, por lo que solo necesita probar que también son cerrados. Dejar$w=w_1\ldots w_n\in\Sigma^*$. La forma más sencilla de demostrar que$B(w)$es cerrado es mostrar que$X\setminus B(w)$está abierto, lo que puedes hacer mostrando que es una unión de conjuntos de cilindros.

• Muestra esa$x\in X\setminus B(w)$si y solo si hay un$k\in\{1,\ldots,n\}$tal que$x_k\ne w_k$.
• Demuestra que hay un$k\in\{1,\ldots,n\}$tal que$x_k\ne w_k$si y solo si $$x\in\bigcup_{\sigma\in\Sigma\setminus\{w_k\}}B(\sigma)\,.$$
• Concluye esto $$X\setminus B(w)=\bigcup_{k=1}^n\bigcup_{\sigma\in\Sigma\setminus\{w_k\}}B(\sigma)\,,$$ que es una unión de conjuntos de cilindros.

Dar$\Sigma$la topología discreta, que tiene una base$\mathcal{B}= \{\{\sigma\}\mid \sigma \in \Sigma\}$.

Entonces los juegos de cilindros son los juegos básicos en la topología del producto en$\Sigma^{\Bbb N}$derivado de esta base componente$\mathcal{B}$, es decir, de la forma$\prod_n U_n$donde tenemos algunos$N \in \Bbb N$tal que$U_n \in \mathcal{B}$para$n \ge N$y$U_n = \Sigma$para$n > N$. Así que tenemos una base porque la reconocemos como la topología estándar en$\Sigma^{\Bbb N}$, topológicamente.

Como todo se pone en$\mathcal{B}$están cerrados (como$\Sigma$tiene la topología discreta) lo mismo vale para la base de productos derivada de ellos. Esto es bastante claro si conoce topologías de productos; p.ej$\overline{\prod_n U_n} = \prod_n \overline{U_n}$es clásico