Prueba de comparación de límites para verificar la convergencia de una serie infinita

La esencia de mi respuesta es el siguiente ejemplo (lea a continuación para obtener una atribución adecuada y una verificación).

Ejemplo. Dejar$a_n=\frac{(−1)^{n-1}}n$y$b^n=\frac{(−1)^n}n+\frac1{n\ln n}$.
En este caso$\sum a_n$converge y$\sum b_n$diverge mientras$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=-1$.

Intuitivamente, permitiendo$c<0$sólo tendría sentido si permitieras que$a_n$(y$b_n$) para tomar valores negativos y positivos. Entonces debemos tratar con series condicionalmente convergentes. Estos son "menos estables bajo ajustes" (que las series con todos los términos positivos), y resulta que podríamos modificar la serie armónica alterna (que, como se sabe, es convergente) en una serie alterna que es divergente, pero la relación de la términos comunes de las dos series es un número finito distinto de cero (ya sea negativo o positivo no es tan importante). Aquí hay más detalles.

La forma en que entiendo o interpreto la pregunta es la siguiente.

No requerimos eso$a_n$y$b_n$son solo términos no negativos. Asumimos que$\lim_\limits{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=c<0$, eso es$-\infty<c<0$.
¿Podemos concluir que:
(i)$\sum a_n$y$\sum b_n$ambos son convergentes,
o
(ii)$\sum a_n$y$\sum b_n$ambos son divergentes?

La respuesta es NO , como se explica a continuación.

Primero, la modificación esencial de la prueba habitual de comparación de límites es que permitimos que la$a_n$y$b_n$tomar valores tanto positivos como negativos. No es realmente importante que permitamos$c<0$. De hecho, si$c<0$podemos reemplazar$a_n$con$-a_n$y usa eso (obviamente) la serie$\sum a_n$y la serie$\sum-a_n=-\sum a_n$son ambos convergentes o ambos divergentes. (Este procedimiento, por supuesto, reemplazaría$c$con$-c$.)

En uno de los comentarios a su respuesta, @user proporcionó un
enlace al siguiente artículo (¿preprint?)
La prueba de comparación: no solo para series no negativas
Michele Longo, Vincenzo Valori, octubre de 2003.

Me parece que la interpretación de @user de la pregunta OP fue diferente a la mía, y parece que no indicó la relevancia (al menos para mi interpretación) del Ejemplo 7 en el documento al que se hace referencia anteriormente.

Ejemplo 7 . Dejar$a_n=\frac{(−1)^n}n$y$b^n=\frac{(−1)^n}n+\frac1{n\ln n}$.
En este caso$\sum a_n$converge y$\sum b_n$diverge mientras$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1$.

Los autores no proporcionaron una prueba, pero supongo que solo porque la verificación es fácil.
(P.ej$\sum\frac1{n\ln n}$es divergente por la prueba integral, ya que la integral impropia$\int_3^\infty\frac{1\ dx}{x\ln x}$se ve fácilmente que es divergente, después de hacer una sustitución$u=\ln x$, un ejemplo estándar en la mayoría de los libros de cálculo.
También,$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=$ $1+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(−1)^n}{\ln n}=1$. Entonces$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac11=1$.)

(También, por supuesto, solo para notarlo una vez más, si dejamos$a_n=-\frac{(−1)^n}n=\frac{(−1)^{n-1}}n$entonces tendríamos eso
$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=-1$, mientras$\sum a_n$converge y$\sum b_n$diverge).

Editar (abordar un comentario de @helpme).
Intuitivamente eso es correcto, las series alternas tienen la culpa. Más precisamente, series que no son absolutamente convergentes (es decir, series que solo son condicionalmente convergentes), por definición esto significa$\sum_na_n$es convergente pero$\sum_n|a_n|=\infty$no es convergente. En tal serie habrá infinitos términos positivos e infinitos términos negativos, pero los signos pueden no alternarse necesariamente de acuerdo con un$(-1)^n$regla. Algo como$1-\frac12-\frac13+\frac14-\frac15-\frac16...$.
Pero si una de las series es absolutamente convergente (por ejemplo, si$\sum_n|a_n|$es convergente) y si$\lim_\limits{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c\in(-\infty,0)$entonces necesariamente tendríamos$\lim_\limits{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|b_n|}=|c|\in(0,\infty)$entonces$\sum_n|b_n|$es convergente, lo que a su vez implica que$\sum_nb_n$también es convergente.

Tu intuición es correcta, de hecho lo que necesitamos para aplicar LCT es que los términos generales de las dos series tengan signo eventualmente constante.

De hecho, supongamos que eventualmente$a_n\ge 0$,$b_n >0$y$\exists c\in \mathbb R$

mediante la prueba de comparación de límites podemos concluir que

• $\sum b_n<\infty \implies \sum a_n <\infty$
• $\sum b_n=\infty \implies \sum a_n =\infty$

Entonces deja$d_n=-b_n <0$y obtenemos

por lo tanto, podemos concluir nuevamente de la misma manera mediante la prueba de comparación límite también para$c$negativo.

Nótese también que, asumiendo que eventualmente$a_n\ge 0$,$b_n >0$, la prueba de comparación de límites también funciona para los siguientes casos extremos

• $\sum b_n <\infty \, \land\,\frac{a_n}{b_n}\to 0 \implies \sum a_n <\infty$

• $\sum b_n =\infty \, \land\,\frac{a_n}{b_n}\to \infty \implies \sum a_n =\infty$

La prueba de comparación es para series de números positivos. Por lo tanto, no es posible que tengas$c<0$. y si tuviste$c=0$, entonces podrías tener$a_n=\frac1{n^2}$y$b_n=\frac1n$. Entonces$c$ es $0$, las series$\sum_{n=1}^\infty a_n$converge y la serie$\sum_{n=1}^\infty b_n$diverge