Series asintóticas en teoría de campos y mecánica cuántica

Es bien sabido que la teoría de perturbaciones en la teoría cuántica de campos conduce a una serie que es (en el mejor de los casos) asintótica. El famoso argumento de Dyson a favor de la electrodinámica cuántica es una buena justificación para esto.

¿Qué pasa con la mecánica cuántica no relativista? ¿Hay ejemplos en los que la teoría de la perturbación (independiente del tiempo, digamos) conduzca a una serie convergente/una serie divergente/una serie asintótica?

Como ejemplo, digamos que uno fuera a estudiar el oscilador anarmónico, con alguna perturbación m X 4 . La teoría de la perturbación para la energía del estado fundamental conduciría a una serie de potencias en m . No creo que Dyson se aplique aquí como el signo de m , para suficientemente pequeño m no debería conducir a un cambio tan dramático en la física como en la negación de la carga eléctrica. ¿Hay ejemplos donde las series perturbativas como esta divergen, convergen, son asintóticas?

Gracias por cualquier aporte.

QFT es un subconjunto de QM, por lo que la pregunta no es particularmente clara. Debe editar su publicación para dejar en claro qué otras características está buscando en una serie tan asintótica y por qué su ejemplo de QFT aún no se ajusta a la factura. Si está buscando una lista exhaustiva de tales series, esa pregunta es demasiado amplia para nuestro formato.
Editado: estoy interesado en la teoría cuántica no relativista (sin campos)
Esa no es una disyuntiva particularmente bien definida. Hay muchas situaciones en las que el marco relevante es QFT sobre un hamiltoniano no relativista, incluidos en particular la materia condensada y los gases cuánticos fríos. Entonces, nuevamente, el ejemplo de QFT aún se aplica.
De acuerdo, pero no estoy interesado en tales situaciones ya que, como ya señalas, ya sé lo que sucede cuando se aplica QFT. He editado mi pregunta para dar un ejemplo simple, específico y claro de dónde podría surgir una serie perturbativa en QM. Espero que esto explique lo que estoy buscando para averiguar.
El argumento de Dyson se aplica a la mecánica cuántica. Si el término de cuarto orden es negativo, entonces el estado fundamental es inestable y se produce un túnel. Esto significa que la teoría de perturbaciones no puede ser convergente.

Respuestas (2)

Para ciertos sistemas, existen series de perturbaciones convergentes. En el caso del oscilador anarmónico descrito por un hamiltoniano,

H = 1 2 pag 2 + 1 2 metro 2 X 2 + 1 4 gramo X 4

se puede construir una serie convergente que es convergente para cualquier gramo > 0 y término armónico arbitrario, válido tanto en los límites de acoplamiento débil como fuerte.

De manera similar, usando un procedimiento que involucra dividir el hamiltoniano de una manera particular y aplicando la teoría de la perturbación, un sistema de osciladores armónicos acoplados admitió una serie convergente.

Además, existe una generalización de una serie de perturbaciones convergentes para un q -oscilador anarmónico deformado , es decir, un sistema basado en un q -Álgebra de Heisenberg deformada, con un hamiltoniano basado en operadores con relaciones de conmutación modificadas.

En un marco más general, se ha demostrado que para una clase de ecuaciones diferenciales hiperbólicas, existen series de perturbaciones convergentes para familias particulares bajo ciertas condiciones. (Aparte, esto se usa para mostrar que las ecuaciones de campo de Einstein en un esquema particular producen una serie de perturbaciones divergentes en lugar de asintóticas).

Gracias por una respuesta detallada y completamente referenciada. Exploraré sus enlaces y le haré saber si todo está resuelto. :-)
¡Pero estas series no están construidas por la teoría de la perturbación, sino de una manera más avanzada!
@Arnold Neumaier No entiendo muy bien tu comentario. La teoría de la perturbación supone una expansión formal en serie de potencias. Luego usa restricciones para encontrar los coeficientes. Si existe un conjunto de coeficientes que dan una serie de potencias de convergencia. Entonces el procedimiento de la teoría de la perturbación debe dar esos coeficientes (ya que la expansión de la serie de potencias es única). ¿Puedes decirme cómo mi argumento es defectuoso?
@BohanXu: No hay falla si la serie es convergente. Pero para el oscilador cuártico, el radio de convergencia de la serie de perturbaciones estándar es cero. El enlace proporcionado en la respuesta no usa el procedimiento estándar, por lo tanto, aunque es útil, no responde la pregunta original.

Debes echar un vistazo a la "Introducción a la teoría de la perturbación en la mecánica cuántica" de Francisco Fernández, en el capítulo 6 señala que casi todas las series de perturbaciones son divergentes, incluidos los efectos Stark y Zeeman favoritos de los fanáticos, por lo que tener una serie convergente es una excepción. Esto no tiene nada que ver con los infinitos grados de libertad de QFT, es solo un hecho de QM.

Como complemento, permítanme señalar que, aunque casi todas las series de perturbaciones son divergentes, el problema solo surge (o surgió) en QFT. Eso es porque en grados finitos de libertad QM podemos definir rigurosamente el hamiltoniano, por ejemplo el efecto Zeeman, simplemente no podemos calcular exactamente los valores propios.

En los primeros días de QFT, la gente solo sabía cómo definir campos libres, no había una definición satisfactoria de un QFT interactivo. Durante algún tiempo hubo alguna esperanza de definir QFT como el resultado de una serie de perturbaciones. Es por eso que el argumento de Dyson fue significativo, muestra que uno no puede definir la interacción QFT a través de la expansión de la perturbación.

(Los últimos párrafos son mi extrapolación de por qué tenemos curiosidad acerca de la convergencia en QM, por lo que pensé que era apropiado incluirlos. Estaré encantado de eliminarlos si las personas consideran que no pertenecen a las preguntas como tales. )

Una interesante colección de pensamientos: gracias por escribir y por la referencia.
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