¿Cuándo puedo usar el teorema de Wick?

El teorema de Wick significa que para los fermiones, una función de correlación de cuatro puntos (por ejemplo) se puede escribir en términos de funciones de correlación de dos puntos:

⟨ b yo † b yo b metro † b metro ⟩ = ⟨ b yo † b yo ⟩ ⟨ b metro † b metro ⟩ − ⟨ b yo † b metro † ⟩ ⟨ b yo b metro ⟩ + ⟨ b yo † b metro ⟩ ⟨ b yo b metro † ⟩

Mi pregunta es ¿cuándo puedo usar esto? En particular, estoy interesado en la teoría de la perturbación de muchos cuerpos a temperatura finita y en el cálculo de las funciones de correlación a partir de algo como

Z [ F ¯ , F ] = ∫ D ( ϕ ¯ , ϕ ) mi − S 0 + S i norte t + ∫ 0 β d τ ∑ yo ( F ¯ yo b yo + b yo † F yo ) ,

dónde S 0 es la parte no perturbada del sistema, S i norte t es la perturbación, y la parte final de la exponencial nos permite calcular las funciones de correlación mediante derivadas funcionales.

¿Hay alguna circunstancia en la que necesite calcular la función de correlación de cuatro puntos? ¿O siempre puedo usar el teorema de Wick?

Respuestas (2)

Siempre puede usar el teorema de Wick cuando describe los valores esperados con respecto a los estados de campo libre (es decir, que no interactúan, como un único estado determinante de Slater). Por ejemplo, en Hubbard-Stratonovich o (generalmente) Teoría de campo medio variacional (como Bogliubov-deGennes) usted toma los términos de interacción y los desacopla en un modelo que es cuadrático en operadores de fermiones, pero en un contexto de campos clásicos.

Entonces, en un sentido de integral de ruta, lo que estoy diciendo es que el teorema de Wick es una declaración sobre los valores esperados con respecto a las distribuciones gaussianas. Dado que generalmente no podemos calcular en otra cosa que no sean distribuciones gaussianas, esto es útil. Considere la acción

S = a X 2 + b X 4

y queremos integrar mi − S general X . Bueno, este es claramente el valor esperado de mi − b X 4 = 1 − b X X X X + O ( b 2 ) con respecto a una distribución gaussiana, y el truco de Wick me dice que (ya que X es solo un escalar, no hay antisimetría...):

⟨ X X X X ⟩ = ⟨ X X ⟩ + ⟨ X X ⟩ + ⟨ X X ⟩
así que a cualquier orden en b podemos calcular la integral y solo tenemos que saber ⟨ X X ⟩ y hacer un poco de combinatoria.

La generalización de esto a los operadores sigue básicamente la misma lógica y es sorprendentemente sencilla (... ¡para integrales de ruta! Los libros estándar siempre presentan el teorema de Wick en una formulación de operador que presumiblemente ni siquiera tiene sentido a temperaturas finitas y lo odio).

Gracias @wsc, como ejemplo, una cadena de espín XX escrita en términos de fermiones sin espín (es decir, después de una transformación de Jordan-Wigner) H 1 = j ∑ yo ( b yo † b yo + 1 + b yo + 1 † b yo ) es un ejemplo de un hamiltoniano que no interactúa, mientras que una cadena de espín XXZ interactúa porque el término adicional, H 1 + j z ∑ yo [ ( 1 − 2 b yo † b yo ) ( 1 − 2 b yo + 1 † b yo + 1 ) ] , significa que no es un modelo de fermiones libres, por lo que el teorema de Wick no es aplicable. pero si el j z término fueron tratados como una perturbación (es decir, es S i norte t ), el teorema de Wick aún podría usarse. ¿Es eso correcto?
Además, si eso es correcto, ¿es correcto que no habría necesidad de calcular algo como ⟨ b yo † b yo b metro † b metro ⟩ para la cadena de giro XX con el j z término como una perturbación, ya que puedo calcularlo a partir de las funciones de correlación de dos puntos? (Mientras que para una cadena de espín XXZ, suponiendo que pueda resolverla en forma de integral de ruta, no podría hacer esto y, por lo tanto, calcular el total ⟨ b yo † b yo b metro † b metro ⟩ es necesario).
Todas esas afirmaciones son correctas. Por cierto, no sé si su problema real es con las cadenas de espín y las transformaciones JW, pero las funciones de correlación en el lenguaje fermion serán funciones de N-punto mucho más exóticas, y la tecnología para calcularlas está muy bien descrita (en realidad ¡muchas cosas están bien descritas!) en el libro de Tsvelik.
Gracias @wsc ¿Qué quiere decir con "las funciones de correlación en el lenguaje fermion serán funciones de N-punto mucho más exóticas"? Tengo el libro de Tsvelik si tiene títulos de sección.
De hecho, no lo tengo conmigo :( Debería ser fácil de encontrar; mi punto es que los giros se asignan a "operadores de cadena". Es decir, si desea calcular ⟨ σ 0 z σ norte z ⟩ tienes un producto de ∼ norte fermiones para tomar el valor esperado de, y también desea que el norte → ∞ límite. El teorema de Wick todavía funciona, por supuesto, y solo necesita funciones de 2 puntos, pero la combinatoria requiere la evaluación de los determinantes de Toeplitz.
Ah, sí, veo lo que quieres decir. ¡Gracias por tu ayuda!

en el operador 1 formulación, la suposición vital, que hace que el teorema estándar de Wick se cumpla, es la suposición de que las contracciones están en el centro del álgebra de operadores pertinente. Esto a menudo se dice casualmente ya que las contracciones deben ser C -números , lo que significa que las contracciones deben (super) conmutar con todos los operadores pertinentes.

1 Una tradición estándar en física establece que el formalismo del operador es equivalente al formalismo de la integral de trayectoria, aunque el mapa real entre los dos formalismos puede ser bastante sutil.

Gracias por tu respuesta @Qmechanic, pero realmente no entiendo. Por formulación de operadores, ¿te refieres a la imagen de Heisenberg? ¿Pensé que la formulación de la integral de trayectoria estaba separada de eso? En el caso de mi pregunta anterior, Z [ F ¯ , F ] se puede reescribir en términos de números de Grassmann en lugar de números c. Mi pregunta de cuándo se puede usar el teorema de Wick es si hay alguna restricción sobre, por ejemplo, qué S 0 o S i norte t puede ser, y si hay casos en los que debo calcular la función de correlación de cuatro puntos en lugar de usar el teorema de Wick para encontrarla.
Esto no es verdad. El teorema de Wick funciona cuando las contracciones son bosones puros, porque fijas los bosones en una configuración y haces la integral de trayectoria sobre los fermiones. Los campos bosónicos no son números c una vez que los integras.
@Ron Maimon: Sí, es posible que las contracciones no (super)conmuten con todos los sectores de la teoría.
@Qmechanic: ¡por supuesto que los formalismos son equivalentes! Pero el teorema de Wick se expresa mejor en integrales de trayectoria, porque es absurdamente complicado en la forma del operador. Esta es una de las razones. Los fermiones siempre se rigen por el teorema de Wick, porque no tienes interacciones de 4 fermi. En 2d, no lo hacen, a menos que introduzca nuevos campos bosónicos para mediar en una interacción local.
La ventaja de la formulación del operador es que el teorema de Wick se puede reformular en un lenguaje matemático preciso e independiente, cuyo alcance no se limita a un modelo en particular.
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