¿Cuándo es exacta una anomalía de un bucle?

Antes de responder a la pregunta, permítanme señalar que el número de bucles necesarios para obtener exactamente la anomalía no es una cantidad invariable; la anomalía es física, pero el número de bucles no lo es.

En el caso de anomalía quiral, necesitamos evaluar un diagrama de bucle porque estamos usando campos de Grassmann como coordenadas del espacio de configuración de dimensión infinita de los fermiones. De lo contrario, es muy difícil hacer teoría cuántica de campos, pero debemos recordar que los campos de Grassmann son solo coordenadas, por lo tanto, no tienen importancia física. La anomalía quiral se puede obtener a nivel de árbol a partir del Lagrangiano clásico de una partícula de Weyl, es decir, clásicamente, consulte el siguiente trabajo de Stone y Dwivedi$^1$. Este trabajo se basa en el trabajo seminal de: Stephanov y Yin (Teoría cinética quiral).

La esencia de su construcción se puede formular en argumentos de espacio de fase simples bastante ingeniosos como los que ofrece Kharzeev basándose en una profunda observación de Gribov .

Un examen profundo del argumento de Stephanov y Yin (o Stone y Dwivedi) muestra que la única información adicional necesaria más allá del Lagrangiano clásico de una partícula de Weyl es que obedece a las estadísticas de Fermi-Dirac (Aquí no tenemos las variables de Grassmann para tomar cuidado de esta parte) y que estamos trabajando en el límite de volumen infinito.

Dado lo anterior, el fenómeno excepcional de la anomalía es que se puede calcular exactamente (independientemente del número de bucles). Ciertamente, hay una explicación topológica de esta exactitud en el caso de la anomalía quiral, pero los argumentos topológicos no cubren todos los casos en los que las cantidades pueden calcularse exactamente en la teoría de perturbaciones.

La razón profunda es la supersimetría.

En matemáticas, este fenómeno se conoce por localización equivariante, basado en el trabajo seminal de Duistermaat y Heckman, consulte la siguiente revisión de orientación física de Szabo. (Los resultados matemáticos rigurosos existen principalmente para los casos de dimensión finita; las aplicaciones de la integral de trayectoria se introdujeron en la literatura física; son menos rigurosas pero condujeron a resultados maravillosos especialmente por Witten).

Básicamente, la localización significa que en lugar de realizar la integral sobre un espacio de fase completo, el resultado puede obtenerse sumando las contribuciones de un subconjunto más pequeño que puede ser discreto o, en el caso de las integrales de trayectoria, puede ser una variedad de dimensión finita (en lugar de el espacio de trayectoria de dimensión infinita). Por favor vea la siguiente presentación de Hosomichi . La existencia de supersimetría es responsable de la solucionabilidad del$N=2$Teorías de calibre supersimétricas en$4$dimensiones.

Ahora, cómo se relaciona la anomalía quiral con lo anterior: según el método del tiempo propio de Schwinger, los procesos descritos por excitaciones de campos cuánticos pueden expresarse como mecánica cuántica (es decir, en$0+1$dimensiones) integrales de trayectoria, consulte la siguiente revisión de Bastianelli y van Nieuwehuizen. Esto es cierto, por ejemplo, para el proceso descrito por el diagrama triangular. La acción de la mecánica cuántica describe una partícula giratoria en$0+1$dimensiones que es supersimétrica, por lo tanto puede ser resuelto por las técnicas de localización. Esto es precisamente lo que hicieron Friedan y Windey en su obra seminal .

$^1$Aunque Stone y Dwivedi comentan que la alineación del espín a lo largo del momento angular de una partícula sin masa es un fenómeno cuántico; se puede obtener completamente en mecánica clásica, consulte Duval y Horvathy .