¿Cómo se calcula realmente el amplituedro?

Desde esta pregunta, Arkani-Hamed, entre otros, ha publicado el texto Grassmanian Geometry of Scattering Amplitudes que aclara de manera pedagógica el enfoque del amplituedro.

Para comprender completamente la derivación, hay muchos preliminares que comprender, pero intentaré presentar un cálculo relativamente independiente de una amplitud, pero esto requiere aceptar algunos resultados a priori . El libro Scattering Amplitudes de Elvang et al también es una buena referencia.

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La figura clave en el enfoque del amplituedro es el Grassmanniano $\mathrm{Gr}(k,n)$cual es el espacio de todos$k$-aviones en un$n$-espacio dimensional. Uno tiene como elementos el$n\times k$matrices$C_{al}$cuales son$k$ $n$-vectores componentes que definen el plano en$\mathbb C^n$.

Sin embargo, nótese en el formalismo de la helicidad del espinor, al especificar los momentos como$p_{\alpha \dot \alpha} = \lambda_\alpha \bar{\lambda}_{\dot \alpha}$, podemos hacer el reescalado$\lambda_\alpha \to t_\alpha \lambda_\alpha$y describen los mismos momentos, por lo que tenemos un$GL(1)$redundancia. Para Grassmannian, esto significa que consideramos cualquier transformación lineal no degenerada para describir el mismo plano, por lo que tenemos un$GL(k)$redundancia.

La clave para evaluar amplitudes es la única integral cíclicamente invariante que genera todas las invariantes de Yangian, dada por,

$$\mathcal L_{n,k}([i|, |i\rangle, \eta_i) = \int\frac{d^{n \times k} C}{GL(k) \prod_{j=1}^n M_j} \left[ \prod_{a=1}^k \delta^2 \left(\sum_i C_{ai}[i| \right) \delta^{(4)} \left(\sum_{i}^n C_{ai}{\eta_i}_A\right)\right] \times$$ $$\times \left[ \prod_{a'=k+1}^n \delta^2 \left(\sum_i \tilde C_{a' i} \langle i|\right)\right]$$

dónde$M_j$son los menores de edad, y especificamos los datos externos como$([i|, |i\rangle, \eta_i)$en el espacio de momento donde$\eta_i$son los supersocios y$\tilde C$es el complemento de$C$. resulta que esto$\mathcal L_{n,k}$es la integral invariante cíclica sobre todo$k$-planos en el Grassmanniano.

Las restricciones de la función delta significan geométricamente que la$2$-plano atravesado por$[i|$es ortogonal a la$k$-avión$C$y análogamente el plano definido por$|i\rangle$es ortogonal a la$(n-k)$-avión$\tilde C$. Desde$C,\tilde C$son complementos, cada uno contiene respectivamente los planos generados por$[i|$y$|i\rangle$. A partir de la geometría, obtenemos la conservación del impulso de forma gratuita:

$$\sum_{i=1}^n |i\rangle [i| = 0.$$

Ahora calculemos$\mathcal L_{n,2}$. Para$k=2$identificamos los planos especificados por las matrices$C$como los abarcados por los datos de momentos. Tenemos,

$$\begin{pmatrix} C_{11} &C_{12} & \dots & C_{1n}\\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} |1\rangle^i &|2\rangle^i & \dots & |n\rangle^i\\ |1\rangle^{\dot 2} & |2\rangle^{\dot 2} & \dots & |n\rangle^{\dot 2} \end{pmatrix}.$$

La función delta bosónica codifica$\delta^{(4)}(P) = 0$y la función delta de Grassmann codifica la conservación de los supermomentos,$\delta^{(8)}(\tilde Q) = 0$. Los menores son,

$$M_i = \epsilon^{ab}C_{ai}C_{b,i+1} = -\epsilon_{\dot a \dot b} |i\rangle^{\dot a} |i+1\rangle^{\dot b} = -\langle i, i+1 \rangle$$

y combinando todos los factores se obtiene,

$$\mathcal L_{n,2} = (-1)^n \frac{\delta^{(8)}(\tilde Q) \delta^{(4)}(P)}{\prod_{i=1}^n \langle i, i+1 \rangle}$$

que es la amplitud de MHV a nivel de árbol,$\mathcal A_{n}^{\mathrm{MHV}}$, escrito en el formalismo compacto de espinor-helicidad.

Para empezar, el formalismo de Amplituedro solo funciona para una teoría específica, N=4 SYM en el límite plano (solo se consideran los diagramas planos de Feynmann). Debido a la supersimetría, puede clasificar los procesos de dispersión con dos parámetros:$n$y$k$. n es el número de partículas involucradas y k es, en términos generales, el número de giros invertidos en el proceso.

Además, también está el número de bucle.$L$en el que desea realizar su cálculo. Tenga en cuenta que a nivel de bucle no está calculando la (super)amplitud, sino el integrando de la amplitud. Es decir, gracias al límite planar, se puede definir de forma única una función dependiente de datos externos + momentos virtuales que hay que integrar para obtener la amplitud. Para aclarar, es lo que obtienes si intercambias$\sum_{diagrams} \int_{loops} = \int_{loops} \sum_{diagrams}$, puede hacerlo sin ambigüedad porque la planaridad permite elegir un esquema para corregir las variables del bucle. Este integrando es lo que produce el Amplituedro a nivel de bucle.

Ahora bien, para cualquier$n,k$y$L$y para datos externos fijos$Z$(a$(k+4) \times n$matriz que en última instancia codifica los momentos externos y los supermomentos) se construye un amplituedro$A_{n,k,L}$de manera estándar. A nivel de árbol ($L=0$) es el subconjunto de$G_{+}(k,k+4)$de puntos$Y$Escrito como$Y = C . Z$, para cualquier$C$en$G_{+}(k,n)$. A nivel de bucle es un poco más complicado, pero nada terrible.

Una característica importante del Amplituedro es que puedes "triangularlo" de una manera muy interesante. (Por triangular queremos decir dividirlo en zonas que tienen en común solo su límite). De hecho, en un trabajo anterior se demostró que la amplitud/integrando para$n,k,L$se escribe como una suma sobre ciertos diagramas en el caparazón, que a su vez etiquetan ciertas celdas en el Grassmannian$G_{+}(k,n)$. (Las reglas BCFW se utilizan para obtener esta expresión de las amplitudes). Si considera la imagen de estas celdas debajo del mapa$Y = C . Z$obtienes una triangulación para el Amplituedro!

Ahora estos Amplituhedra tienen "límites" de codimensión uno. Estos son loci cero de funciones no negativas definidas en Amplituhedra. Un punto crucial será que estos límites pueden escribirse como producto de otros Amplituhedra. Puede definir una forma de volumen (¿única?) en el Amplituedro con la condición de que debe tener singularidades logarítmicas (es decir, como 1/x) en estos límites de codimensión uno.

Una forma concreta de hacerlo es considerar una triangulación de Amplituhedra, por ejemplo, la que se deriva de las relaciones de recursión BCFW como se indicó anteriormente. En cada "triángulo" ya se le da una forma que tiene singularidades de registro en la cara del "triángulo". Esto es así porque las células de$G_{+}(k,n)$utilizados en esta triangulación están equipados con gráficos positivos simples$(\alpha_1, ... , \alpha_d)$que permite llegar a un límite de la celda estableciendo ciertos$\alpha$a cero. Por lo tanto las formas$\Pi d\alpha/\alpha$tener la propiedad deseada en cuanto a las celdas. Simplemente suma estas formas sobre las celdas: los polos "espurios", asociados a los límites de celda que no son límites de amplituedro, se cancelan (son compartidos por dos celdas) y le quedan las singularidades de registro correctas.

Pero también puede obtener esta forma de volumen de otras maneras, siguiendo las indicaciones de la definición, como se explica en el documento.

Finalmente, evalúas la forma de volumen obtenida arriba en un punto particular de los amplituedros, y lo que obtienes es la amplitud/integrando.

El procedimiento parece un poco complicado y abstracto, pero en realidad la idea es bastante simple. La geometría del amplituedro captura las complejas propiedades de factorización de las amplitudes/integrantes requeridas por Localidad y Unitaridad: Los límites de un amplituedro se factorizan en los correspondientes amplituedros más pequeños. Por lo tanto, una forma con singularidades logarítmicas en estos límites también tendrá los polos y factorizaciones correctos.