¿Por qué el corte de rama de la energía propia comienza en 2m2m2m?

Considere un campo escalar $\phi(x)$, y sea su función de dos puntos

Normalmente tenemos$\Pi(m^2)=0$, lo que implica que hay un estado de una partícula con masa$m^2$. En términos de la densidad espectral , esto se lee

Por otro lado, la contribución continua generalmente comienza en$(2m)^2$, significa que$\Pi(k^2)$tiene una rama cortada de$(2m)^2$a$\infty$. Nuevamente, en términos de la función espectral, esto se escribe como$\text{supp}(\sigma)=[(2m)^2,\infty)$.

Mi pregunta

Esperaría que el primer estado enlazado se encuentre cerca de$(2m)^2$, pero ligeramente por debajo , algo alrededor$(2m)^2-\mathcal O(\alpha^n)$, dónde$\alpha$es la constante de acoplamiento y$n\in\mathbb N$. Por ejemplo, en un modelo QED simplificado, el estado de enlace de un electrón y un positrón tiene energía de enlace$\sim 7\mathrm{eV}\sim m\alpha^2$, por lo que esperaría que el punto de bifurcación esté en algún lugar alrededor$(2m)^2-m^2\alpha^4$.

Conozco el valor de la autoenergía de un bucle, y el punto de bifurcación está exactamente en$(2m)^2$. No sé dónde encontrar correcciones de bucle más altas, por lo que no puedo concluir si

• 1) en bucles más altos, el punto de bifurcación se mueve un poco más cerca de$m^2$, o

• 2) se queda en$(2m)^2$.

Esperaría que el comportamiento correcto sea 1), pero esto contradice el hecho de que todos los libros que he leído siempre describen el umbral de producción de pares como un hiperboloide con la parte inferior colocada exactamente en$(2m)^2$. Por otro lado, si resulta que la opción correcta es 2), me inclino a preguntar por qué la teoría de la perturbación no puede predecir correctamente la posición del punto de bifurcación (sé que este es un problema sutil porque los estados ligados son, para en cierta medida, entidades no perturbativas; pero AFAIK, los cálculos perturbativos contienen mucha información sobre los estados ligados).