Estoy desconcertado con la teoría de la perturbación cuando estudio la mecánica cuántica y la teoría sólida.
Lo que aprendo sobre la perturbación es, desde mi punto de vista ignorante, solo matemáticas, o incluso más simple, teoría de matrices, independientemente de que sea teoría de perturbación convencional, pertubación degenerada o pertubación cuasi-degenerada.
El punto es que solo puedo entenderlo como una herramienta matemática, en lugar de cualquier concepto relacionado con la física. ¿La teoría de la perturbación se basa inherentemente en algunos conceptos de la física cuántica?
Probablemente es difícil ser completo en este tema. ¿Alguien puede hacer una especie de "trazo de pincel ancho"?
En la medida en que es una forma de resolver ecuaciones matemáticas, es matemática.
El contenido físico está en el significado físico de las ecuaciones exactas y (si se capta bien) en la aproximación inicial, que describe a grandes rasgos las soluciones. Las correcciones perturbativas modifican (ligeramente) los valores numéricos de la aproximación inicial.
Diría que la teoría de la perturbación es una generalización de varias herramientas matemáticas que se encuentran en diferentes campos, por ejemplo, series de Taylor, expansiones momentáneas de variables estadísticas, series de Fourier y, en general, cualquier suma infinita convergente. Con el caso específico de las perturbaciones del kernel, puede considerar que cada perturbación del kernel es el resultado de un proceso de dispersión que afecta al Lagrangiano de alguna manera.
Según su definición, la mayor parte de la física es "solo matemáticas". La mecánica clásica es "solo una cierta rama de los sistemas dinámicos". El electromagnetismo es "solo PDE que involucran tensores". La mecánica estadística es "solo el comportamiento estadístico de los sistemas dinámicos". La mecánica cuántica es "solo una descripción de un álgebra C*".
La distinción surge cuando aplicas las herramientas matemáticas para describir un fenómeno físico. Cuando aplicas la teoría de la perturbación a una situación física, ya no es "solo matemática".
Podemos imaginar que la complicada serie de cosas en movimiento que constituyen "el Mundo" es algo así como un juego de ajedrez jugado por los Dioses, y nosotros somos observadores del juego. No sabemos cuáles son las reglas del juego; todo lo que se nos permite hacer es mirar el juego. Por supuesto, si observamos lo suficiente, podemos captar algunas de las reglas. Las reglas del juego son lo que entendemos por física fundamental. Sin embargo, incluso si conocemos todas las reglas... lo que realmente podemos explicar en términos de estas reglas es muy limitado, porque casi todas las situaciones son tan enormemente complicadas que no podemos fluir las jugadas del juego usando las reglas, y mucho menos decir qué. va a pasar a continuación. Por lo tanto, debemos limitarnos a las cuestiones más básicas de las reglas. Si conocemos las reglas, consideramos que 'entendemos' el mundo.
Para la mayoría de los problemas de Mecánica Cuántica, es extremadamente difícil obtener soluciones exactas de las ecuaciones de Schrödinger y hay que recurrir a métodos aproximados. Los tres más importantes son
Las aproximaciones deben hacerse utilizando herramientas matemáticas y se puede elegir uno de los tres métodos para el rango específico de complejidades.
Ahí entra la imagen física del problema. Por ejemplo, los métodos variacionales pueden dar buenos resultados para el estado fundamental y para un estado excitado, la perturbación puede ser un mejor sustituto y para potenciales que varían suavemente, el JWKB da un buen resultado.
Lo que deseo subrayar es que la imagen física del problema, la naturaleza de las interacciones y la elección de los potenciales perturbadores dan una idea física, por supuesto con limitaciones, y no es sólo el "juego de la herramienta matemática".
Los estudiantes a veces ven la Mecánica Cuántica como tal como "Física Matemática", pero olvidan que las soluciones de esas ecuaciones diferenciales parciales pueden ser un conjunto grande, pero solo unas pocas limitadas por las condiciones físicas del contorno deben tomarse como 'soluciones reales'. .
Después de todo, todo puede considerarse como una herramienta matemática. La física simplemente plantea el problema e interpreta los resultados, pero el desarrollo suele ser matemática pura. Esto es así para cualquier problema en cualquier rama de la física.
Sin embargo, a veces es necesario incluir alguna información en medio del desarrollo que es solo física, no matemática. En las perturbaciones cuánticas, por ejemplo, el hecho de que un factor de fase global sea irrelevante es una particularidad física. Un matemático no podría decir eso. O el hecho de que puedes comparar energías y decir si el primer orden es suficiente. Tal como lo veo, este tipo de información adicional necesaria lo convierte en "física" y no solo en "matemáticas".
No todos los problemas en física son sobresalientes. En otras palabras, no siempre se pueden resolver exactamente en forma cerrada. La teoría de la peturbación funciona bien en el caso de que conozca exactamente la solución de forma cerrada para un escenario particular y luego modifique ligeramente el problema (ya sea la forma de la ecuación gobernante o las condiciones iniciales). De orden cero, la solución al escenario perturbado es una y la misma que la solución a la solución no perturbada. Luego continúa agregando iterativamente una solución de primer orden a la solución de orden cero y luego una solución de segundo orden a la solución de primer orden.
Miguel
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