Serie de Taylor para x0+x1+x2+⋯−−−−−−√−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−√x0+ x1+x2+⋯\sqrt{x^0+\sqrt{x^1+\sqrt{x^2+\cdots}}}

Dejar$f_n(z) = \sqrt{z^n + \sqrt{z^{n+1} + \sqrt{\ldots}}}$. De este modo$f_n(z)^2 = z^n + f_{n+1}(z)$. Como nos estamos expandiendo$z=1$, puede ayudar a escribir$z = 1+t$. Alquiler$f_n(z) = a_0(n) + a_1(n) t + a_2(n) t^2 + \ldots$y trabajando formalmente, tenemos

$$(a_0(n) + a_1(n) t + a_2 (n) t^2 + \ldots)^2 = (1+t)^n + a_0(n+1)+a_1(n+1)t + a_2(n+1) t^2 + \ldots$$

Igualando los coeficientes de cada potencia de$t$:

$$\eqalign{a_0(n)^2 &= 1 + a_0(n+1)\cr 2 a_0(n) a_1(n) &= n + a_1(n+1)\cr 2 a_0(n) a_2(n) + a_1(n)^2 &= \frac{n^2-n}{2} + a_2(n+1)\cr 2 a_0(n) a_3(n) + 2 a_1(n) a_2(n) &= \frac{n^3}{6} - \frac{n^2}{2}+\frac{n}{3} + a_3(n+1)\cr etc}$$ La primera ecuación es consistente con$a_0(n)$siendo todos iguales a una raíz de$z^2 = z+1$, presumiblemente$(1+\sqrt{5})/2$.
Suponiendo que ese sea el caso, la segunda ecuación es consistente con $$a_1(n) = \dfrac{n}{\sqrt{5}} + \dfrac{1}{5}$$ Suponiendo que ese sea el caso, la tercera ecuación es consistente con $$a_2(n) = \dfrac{3\sqrt{5}}{50} n^2 + \left(\frac{1}{25}-\frac{\sqrt{5}}{10}\right) n - \frac{1}{25}$$ Suponiendo que ese sea el caso, la cuarta ecuación es consistente con $$a_3(n) = {\frac {7\,\sqrt {5}{n}^{3}}{750}}+ \left( -{\frac{3}{250}}-{\frac {3 \,\sqrt {5}}{50}} \right) {n}^{2}+ \left( -{\frac{9}{250}}+{\frac {22 \,\sqrt {5}}{375}} \right) n+{\frac{1}{125}}-{\frac {4\,\sqrt {5}}{625 }}$$ Así que creo que tu$A_0$a$A_2$son correctos, y$A_3$debiera ser${\frac{1}{125}}-{\frac {4\,\sqrt {5}}{625 }}$. En los siguientes pasos, obtengo$A_4 = {\frac{34}{3125}}+{\frac {7\,\sqrt {5}}{625}}$y$A_5 = -{\frac{353}{15625}}-{\frac {1138\,\sqrt {5}}{78125}}$.