Suma infinita definida por ∫exxdx∫exxdx\int \frac{e^x}{x}dx vs. Función exponencial Serie de Taylor

Recientemente, al jugar con la integración por partes, noté que es posible definir series infinitas que conducen a una integral. Mi profesor de cálculo se dio cuenta de esto y me dijo que encontrara

∫ mi X X d X

que ya sabía que no tenía una definición de función elemental. Después de integrar por partes varias veces, descubrí que esto conducía a la suma

mi X ∑ k = 1 ∞ ( k − 1 ) ! X k + C

o mejor

mi X X ∑ k = 0 ∞ k ! X k + C

Lo cual, para mí, se parecía mucho a la definición de serie de Taylor de e^x:

∑ k = 0 ∞ X k k !

En eso

k ! X k − 1 = X k k !

¿Hay alguna forma entre lo que he encontrado y la serie de Taylor de la función exponencial que aún no entiendo?

Para que lo que estás haciendo sea riguroso, intenta hacerlo con una integral definida (convergente), como ∫ 1 y mi X X d X . Creo que su enfoque conduce a una expansión asintótica no convergente en este caso. Este sigue siendo un objeto significativo (pero no en la forma en que lo ha visto en el cálculo ordinario).
@Ian Muy bien, veré qué puedo obtener a partir de ahí.
@Ian Además, ¿qué quiso decir con "Este sigue siendo un objeto significativo"?
Las expansiones asintóticas no convergentes tienen un significado, pero no en el sentido de norte tendiendo al infinito. En cambio, tienen un significado en el sentido del parámetro X tiende a algún valor fijo cuando norte se considera finito. en.wikipedia.org/wiki/Asymptotic_expansion
@Ian resolví la integral que me diste, parece que ∫ a b mi X X d X solo es convergente para a , b > 1 o a , b < − 1 .
No, eso no es correcto, es convergente para cualquier 0 < a , b < ∞ .
@Ian Oo No encontré eso. Probablemente lo hice mal, investigaré más y veré qué estropeé.
No hay mucho que decir al respecto: si 0 < a ≤ b < ∞ entonces [ a , b ] es un intervalo acotado en el que mi X / X es continuo

Respuestas (1)

Acaba de tropezar con la función integral exponencial (Ei), que es una función no elemental. Sin entrar en demasiados detalles, eso significa que la función no se puede simplificar por completo, y lo mejor que podemos hacer es expresarla como una serie, como lo hiciste tú.

Sin embargo, creo que la siguiente expansión es más utilizada, debido a la simplicidad:

∫ mi X X d X = ∫ 1 X ∑ k = 0 ∞ X k k ! = ∑ k = 0 ∞ ∫ X k − 1 k ! = ∑ k = 0 ∞ X k k ! ⋅ k

Sé lo que es, estoy tratando de encontrar el vínculo entre esto y la definición de la serie de Taylor de la función exponencial.
Bueno, el enlace está en que es la integral de la serie de Taylor dividida por X . No parece que haya mucho más XD
Sí, pero la suma factoriza el e^x, pero la suma aún conserva el inverso multiplicativo del sumando en la representación de la serie de Taylor de e^x.
Suma infinita definida por ∫exxdx∫exxdx\int \frac{e^x}{x}dx vs. Función exponencial Serie de Taylor
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