¿Cómo podemos usar la representación en serie en los límites?

Question

¿Cómo podemos usar la representación en serie en los límites?

limites
Matemáticas
taylor-expansion
secuencias y series

estudiante para siempre

1) Podemos escribir $\sin x$ como

pecado X = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{i} X^{2 i + 1}}{(2 i + 1)!} .

$\sin x=\sum\limits_{i=0}^\infty \frac{(-1)^ix^{2i+1}}{(2i+1)!}.$

¿Cómo podemos escribir esto?

Para cualquier dado $\epsilon >0$ si podemos encontrar $N \geq 0$ tal que

| \sum_{i = 0}^{norte} \frac{(- 1)^{i} X^{2 i + 1}}{(2 i + 1)!} - pecado X | < ϵ

$\left|\sum\limits_{i=0}^N \frac{(-1)^ix^{2i+1}}{(2i+1)!}- \sin x\right| < \epsilon$ que la igualdad

pecado X = \underset{norte \to \infty}{límite} \sum_{i = 0}^{norte} \frac{(- 1)^{i} X^{2 i + 1}}{(2 i + 1)!} = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{i} X^{2 i + 1}}{(2 i + 1)!}

$\sin x=\lim\limits_{N \to \infty}\sum\limits_{i=0}^N\frac{(-1)^ix^{2i+1}}{(2i+1)!}=\sum\limits_{i=0}^\infty \frac{(-1)^ix^{2i+1}}{(2i+1)!}$ sostendrá.

Asumo que encontramos esto.

2) para $x\ne 0$ (podemos mostrar esto de la misma manera)

\frac{pecado X - X}{X^{3}} = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{i} X^{2 (i - 1)}}{(2 i + 1)!}

$\frac{\sin x-x}{x^3}=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{(-1)^ix^{2(i-1)}}{(2i+1)!}$ sostendrá.

3) Aquí, nuestra pregunta es

\underset{X \to 0}{límite} \frac{pecado X - X}{X^{3}} .

$\lim\limits_{x\to0} \frac{\sin x-x}{x^3}.$ Usando la representación de la serie anterior, podemos escribirlo como

\underset{X \to 0}{límite} \frac{pecado X - X}{X^{3}} = \underset{X \to 0}{límite} (\underset{norte \to \infty}{límite} \sum_{i = 1}^{norte} \frac{(- 1)^{i} X^{2 (i - 1)}}{(2 i + 1)!}) .

$\lim\limits_{x\to0} \frac{\sin x-x}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\left(\lim\limits_{N \to \infty}\sum\limits_{i=1}^N\frac{(-1)^ix^{2(i-1)}}{(2i+1)!}\right).$ Mi pregunta: ¿Cómo podemos continuar desde aquí? si podemos escribir

lim_{x \to 0} lim_{N \to \infty}

$\lim\limits_{x\to0}\lim\limits_{N \to \infty}$ para

lim_{N \to \infty} lim_{x \to 0}

$\lim\limits_{N\to\infty}\lim\limits_{x \to 0}$ , ¿cómo podemos hacer eso?

Quiero dar un contraejemplo para la última parte que limita no siempre conmutativo:

\underset{X \to 0}{límite} (\underset{y \to 0}{límite} \frac{X - y}{X + y}) = \underset{X \to 0}{límite} 1 = 1

$\lim\limits_{x\to0}\left(\lim\limits_{y \to 0}\frac{x-y}{x+y}\right)=\lim\limits_{x\to0}1=1$ y

\underset{y \to 0}{límite} (\underset{X \to 0}{límite} \frac{X - y}{X + y}) = \underset{X \to 0}{límite} - 1 = - 1.

$\lim\limits_{y\to0}\left(\lim\limits_{x \to 0}\frac{x-y}{x+y}\right)=\lim\limits_{x\to0}-1=-1.$

Quiero señalar que mi pregunta no es solo para este ejemplo en particular.

roberto israel

Tu serie para

\sin x

$\sin\; x$ está mal: falta

(- 1)^{i}

$(-1)^i$

estudiante para siempre

Oh, gracias, voy a editar ahora.

usuario325968

EXCELENTE pregunta que demuestra que tienes la actitud correcta sobre las matemáticas. Cada vez que "hacemos algo", PREGUNTA por qué podemos hacerlo. Ejemplo perfecto: si cambia el orden de tomar límites, POR QUÉ está permitido (especialmente cuando sabe que NO ESTÁ BIEN hacerlo en general). Debe ser capaz de enunciar específicamente qué es, en su problema particular, lo que le permite hacer algo. En su ejemplo, no es solo la convergencia de la serie lo que le permite cambiar el orden, sino la convergencia UNIFORME.

Cabina G

después de corregir por el

{(- 1)}^{i}

${\left( { - 1} \right)^{\,i} }$ ¿Cuál es ahora la conexión entre 1) y 2)? no puedo entender cual es el problema

estudiante para siempre

La primera parte es la motivación por lo que hice y dónde me quedé. La pregunta está después de "Mi pregunta" y se trata de continuar con el resto del cálculo de la manera correcta.

Respuestas (2)

¿Cómo podemos usar la representación en serie en los límites?

EXCELENTE pregunta que demuestra que tienes la actitud correcta sobre las matemáticas. Cada vez que "hacemos algo", PREGUNTA por qué podemos hacerlo. Ejemplo perfecto: si cambia el orden de tomar límites, POR QUÉ está permitido (especialmente cuando sabe que NO ESTÁ BIEN hacerlo en general). Debe ser capaz de enunciar específicamente qué es, en su problema particular, lo que le permite hacer algo. En su ejemplo, no es solo la convergencia de la serie lo que le permite cambiar el orden, sino la convergencia UNIFORME.
después de corregir por el ${\left( { - 1} \right)^{\,i} }$ ¿Cuál es ahora la conexión entre 1) y 2)? no puedo entender cual es el problema
La primera parte es la motivación por lo que hice y dónde me quedé. La pregunta está después de "Mi pregunta" y se trata de continuar con el resto del cálculo de la manera correcta.

David C.Ullrich · Answer 1

Esto tiene que ver con las propiedades especiales de las series de potencias ; en particular, la función definida por una serie de potencias es continua en el intervalo donde converge:

Suponer $\sum a_nx^n$ converge para $|x|<R$ . Arreglar $r\in(0,R)$ , y decir $r<\rho<R$ . La serie converge para $x=\rho$ , y por lo tanto los términos están acotados para $x=\rho$ ; Esto muestra que la serie converge uniformemente en $[-r,r]$ , y por lo tanto la suma es continua en $[-r,r]$ .

Sí, por supuesto, si es continua, podemos simplemente calcular series para $x=0$ . Gracias.

roberto israel · Answer 2

La forma más fácil de hacer esto es con $O$ notación. Si $f(x) = \sum_{i=0}^\infty a_i x^i$ , convergiendo para $|x| < R$ dónde $R > 0$ , entonces $f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n + O(x^{n+1})$ como $x \to 0$ . Así por ejemplo,

pecado (X) = X - \frac{X^{3}}{6} + O (X^{4})

$\sin(x) = x - \dfrac{x^3}{6} + O(x^4)$ lo que implica

\frac{pecado (X) - X}{X^{3}} = \frac{- X^{3} / 6 + O (X^{4})}{X^{3}} = - \frac{1}{6} + O (X) \to - \frac{1}{6} como X \to 0

$\dfrac{\sin(x) - x}{x^3} = \dfrac{-x^3/6 + O(x^4)}{x^3} = -\dfrac{1}{6} + O(x) \to -\dfrac{1}{6} \ \text{as $x \to 0$}$

Esta respuesta se ve como para el cálculo. Pero no era el punto lo que no entendía. ¿Me estoy perdiendo algo en esta respuesta?

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roberto israel

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usuario325968

Cabina G

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