¿Cuándo deja de ser válida la teoría de la perturbación QFT?

Cuando se introdujo el concepto de teoría de perturbaciones en Mecánica Cuántica, dividimos el hamiltoniano$H= H_0 + \delta H$dónde$\delta H$es pequeño de alguna manera, es decir, si dice$\epsilon$es el acoplamiento adimensional relevante asociado con$\delta H$entonces esperamos$\epsilon \ll 1$.

En QFT, la idea parece ligeramente diferente. En el enfoque de la integral de trayectoria, desarrollamos la función de partición como una serie de potencias formal en$\hbar$. Al expresar la funcional generadora que interactúa como una serie asintótica de la funcional generadora libre, obtenemos una serie de potencias en$\hbar$que tiene cero radio de convergencia (por la definición de la serie asintótica). Podemos demostrar que la función generatriz se puede aproximar bien mediante técnicas de resumen o simplemente truncando la serie asintótica en un punto apropiado a pesar de ser divergente como una serie de potencias en$hbar$.

Con esto en mente, considere un lagrangiano escrito en términos de acoplamientos adimensionales$\{g_i(\mu)\}$eso será una función de una escala de masa reguladora arbitraria$\mu$.

Para que la teoría de la perturbación sea válida$\{g_i(\mu)\}$tiene que ser menor que 1, como para cualquier escala adimensional relevante en la teoría de perturbaciones QM? El hecho de que la serie asintótica tenga un radio de convergencia cero independientemente de los valores de$\{g_i(\mu)\}$me hace pensar que en realidad no necesitamos que los acoplamientos sean pequeños (ya que los acoplamientos nunca pueden ser lo suficientemente pequeños para que la función de partición "realmente converja").

Este pensamiento fue motivado por mis notas de conferencias universitarias. En QCD calculamos la función beta en orden adelantado. Integramos la función beta y obtenemos el resultado

con$\alpha_s = g^2 / 4 \pi$y$\beta_0 >0$

Todo está bien, pero luego mi profesor dice que pensemos en la escala.$\Lambda_\text{QCD}$(la escala donde diverge la constante de acoplamiento) como un límite entre QCD perturbativo y no perturbativo. Me pareció extraño que habláramos de este resultado para$\alpha_s(\mu) > 1$, y mucho menos a una escala en la que la expresión diverge por completo. Me ha hecho cuestionar cuándo la teoría de la perturbación es realmente válida. Así que la pregunta principal es si$\{g_i(\mu)\}$tiene que ser <1 para que el método perturbativo sea válido? Si no, entonces supongo que simplemente no queremos que los acoplamientos diverjan.