¿Podemos obtener información no perturbativa completa del sistema que interactúa calculando la perturbación en todos los órdenes?

Question

¿Podemos obtener información no perturbativa completa del sistema que interactúa calculando la perturbación en todos los órdenes?

Física
no perturbativo
fuertemente correlacionado
teoría de la perturbación
física-matemática
teoría cuántica de campos

arcearce

Como sabemos, la expansión perturbativa de QFT o QM interactuantes no es una serie convergente sino una serie asintótica que generalmente es divergente. Por lo tanto, no podemos obtener una precisión arbitraria de una teoría interactiva calculando un orden lo suficientemente alto y agregándolos directamente.

Sin embargo, también sabemos que podemos usar algunos trucos de resumen como el sumatorio de Borel , la aproximación de Padé , etc. para sumar una serie divergente para restaurar la información original no perturbativa. Este truco se usa mucho para calcular el exponente crítico de $\phi^4$ etc.

Mis preguntas:

Aunque es casi imposible calcular la perturbación en todos los órdenes, ¿es cierto que podemos obtener una precisión arbitraria de los sistemas que interactúan (como QCD) simplemente calculando órdenes lo suficientemente altos y usando trucos de resumen como la suma de Borel?
¿Es cierto que, en principio, la información no perturbativa como instanton y vortex también se puede lograr con los métodos anteriores?

Hay un ejemplo sólido: $0$ -oscuro $\phi^4$ teoría,

Z (gramo) \equiv \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d X}{\sqrt{2 π}} {mi}^{- X^{2} / 2 - gramo X^{4} / 4}

$Z(g)\equiv\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2 -gx^4/4}$ De la definición de

Z (g)

$Z(g)$ arriba,

Z (g)

$Z(g)$ debe ser un número finito para

g > 0

$g>0$ .

Como de costumbre, podemos calcular esto perturbativamente,

\begin{matrix} (1) & Z (gramo) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d X}{\sqrt{2 π}} {mi}^{- X^{2} / 2} \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{1}{norte!} (- gramo X^{4} / 4)^{norte} \sim \sum_{norte = 0}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d X}{\sqrt{2 π}} {mi}^{- X^{2} / 2} \frac{1}{norte!} (- gramo X^{4} / 4)^{norte} \end{matrix}

$Z(g)= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(-gx^4/4)^n \sim \sum_{n=0}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} \frac{1}{n!}(-gx^4/4)^n \tag{1}$

Nota: En principio, no podemos intercambiar sumatoria integral e infinita. Es por eso que la serie asintótica es divergente.

\begin{matrix} (2) & Z (gramo) \sim \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{(- gramo)^{norte} (4 norte)!}{norte! {dieciséis}^{norte} (2 norte)!} \end{matrix}

$Z(g)\sim \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-g)^n (4n)!}{n!16^n (2n)!} \tag{2}$ Es una serie asintótica divergente.

De otra forma, $Z(g)$ puede resolverse directamente analíticamente,

\begin{matrix} (3) & Z (gramo) = \frac{{mi}^{\frac{1}{8 gramo}} k_{1 / 4} (\frac{1}{8 gramo})}{2 \sqrt{π gramo}} \end{matrix}

$Z(g)= \frac{e^{\frac{1}{8g}}K_{1/4}\left(\frac{1}{8g}\right)}{2\sqrt{\pi g}} \tag{3}$ dónde

K_{n} (x)

$K_n(x)$ es la función de Bessel modificada de segunda clase . Vemos obviamente que

Z (g)

$Z(g)$ es finito para

g > 0

$g>0$ y

g = 0

$g=0$ es una singularidad esencial.

Sin embargo, podemos restaurar la solución exacta. $(3)$ por Borel resumen de series asintóticas divergentes $(2)$

Primero calcule la transformada de Borel,

B (gramo) = \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{(- gramo)^{norte} (4 norte)!}{(norte!)^{2} {dieciséis}^{norte} (2 norte)!} = \frac{2 k (\frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 gramo}}{2 \sqrt{1 + 4 gramo}})}{π (1 + 4 gramo)^{1 / 4}}

$B(g)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-g)^n (4n)!}{(n!)^216^n (2n)!} = \frac{2K\left(\frac{-1+\sqrt{1+4g}}{2\sqrt{1+4g}}\right)}{\pi (1+4g)^{1/4}}$ dónde

K (x)

$K(x)$ es la integral elíptica completa de primera especie .

Luego calcule la suma de Borel

\begin{matrix} (4) & Z_{B} (gramo) = \int_{0}^{\infty} {mi}^{- t} B (gramo t) d t = \frac{{mi}^{\frac{1}{8 gramo}} k_{1 / 4} (\frac{1}{8 gramo})}{2 \sqrt{π gramo}} \end{matrix}

$Z_B(g)=\int_0^{\infty}e^{-t}B(gt)dt=\frac{e^{\frac{1}{8g}}K_{1/4}\left(\frac{1}{8g}\right)}{2\sqrt{\pi g}} \tag{4}$

Z_{B} (gramo) = Z (gramo)

$Z_B(g) = Z(g)$

Vemos concretamente que podemos restaurar la solución exacta de series asintóticas divergentes usando el truco de la reanudación de Borel.

usuario178876

La respuesta es no. Al menos si te refieres a la teoría de perturbaciones estándar. Solo haz una expansión de Taylor de

\exp (- 1 / g^{2})

$\exp(-1/g^2)$ alrededor

g = 0

$g=0$ para ver por qué

arcearce

@marmot No es una expansión de Taylor sino una expansión asintótica. Puede obtener este resultado mediante la reanudación

arcearce

@marmot Puedes ver el ejemplo de mi versión actualizada.

AccidentalFourierTransformar

relacionado: ¿ Diagramas de Feynman no perturbativos? .

AccidentalFourierTransformar

Tenga en cuenta también que la reanudación de Borel contiene ambigüedades cada vez que la transformada de Borel contiene singularidades a lo largo del eje real positivo (que se puede argumentar que suele ser el caso).

AccidentalFourierTransformar

@maplemaple Por favor, deje de hacer ediciones triviales para colocar la pregunta en la página principal. Gracias.

Colin MacLaurin

Analogía de otro campo: la "teoría posnewtoniana" se aproxima a la relatividad general a través de expansiones a varios órdenes. ¡Sin embargo, Christodoulou demostró que no converge (citado por Piotr Chrusciel)! Sin embargo, parece funcionar en la práctica, y un experto, Eric Poisson, no está preocupado. Fuente: Escuela de verano "Domoschool: Ecuaciones de Einstein - Aspectos físicos y matemáticos", 2018

Nikita

¿Podría explicar cómo calcular la suma de Borel? O dar algunas referencias?

arcearce

@Nikita Puedes ver la wiki: en.wikipedia.org/wiki/Borel_summation#Definition Primero calcula

B A (t)

$\mathcal{B}A(t)$ , luego calcula la integral

Nikita

@maplemaple gracias. Entiendo lo que es la suma de Borel. No entiendo cómo obtener la integral elíptica completa del primer tipo y calcular la transformada inverce de Laplace de la integral elíptica.

arcearce

@Nikita Mathematica puede calcularlo analíticamente

Respuestas (2)

¿Podemos obtener información no perturbativa completa del sistema que interactúa calculando la perturbación en todos los órdenes?

La respuesta es no. Al menos si te refieres a la teoría de perturbaciones estándar. Solo haz una expansión de Taylor de $\exp(-1/g^2)$ alrededor $g=0$ para ver por qué
@marmot No es una expansión de Taylor sino una expansión asintótica. Puede obtener este resultado mediante la reanudación
Tenga en cuenta también que la reanudación de Borel contiene ambigüedades cada vez que la transformada de Borel contiene singularidades a lo largo del eje real positivo (que se puede argumentar que suele ser el caso).
@maplemaple Por favor, deje de hacer ediciones triviales para colocar la pregunta en la página principal. Gracias.
Analogía de otro campo: la "teoría posnewtoniana" se aproxima a la relatividad general a través de expansiones a varios órdenes. ¡Sin embargo, Christodoulou demostró que no converge (citado por Piotr Chrusciel)! Sin embargo, parece funcionar en la práctica, y un experto, Eric Poisson, no está preocupado. Fuente: Escuela de verano "Domoschool: Ecuaciones de Einstein - Aspectos físicos y matemáticos", 2018
¿Podría explicar cómo calcular la suma de Borel? O dar algunas referencias?
@Nikita Puedes ver la wiki: en.wikipedia.org/wiki/Borel_summation#Definition Primero calcula $\mathcal{B}A(t)$ , luego calcula la integral
@maplemaple gracias. Entiendo lo que es la suma de Borel. No entiendo cómo obtener la integral elíptica completa del primer tipo y calcular la transformada inverce de Laplace de la integral elíptica.

Arnold Neumaier · Answer 1

La teoría de la perturbación da para la solución una serie asintótica en la constante de acoplamiento $g$ . Hay infinitas funciones que tienen la misma serie asintótica, ya que por ejemplo sumando una función de $e^{-c/g^2}$ desaparecer en cero no cambiará la serie asintótica.

Así, en general, la serie de perturbaciones no proporciona información perturbativa completa. Cada procedimiento de suma necesita hacer suposiciones adicionales sobre la solución; resumirá la serie correctamente cuando se cumplan estos supuestos, pero en general no en caso contrario.

En muchos casos de juguetes, se puede demostrar que se cumplen los supuestos del teorema de suma de Borel de Watson; entonces funciona la suma de Borel. Pero se sabe que no funciona en otros casos, por ejemplo, en presencia (frecuente) de renormalizaciones.

En la teoría del campo cuántico relativista 4D, no se sabe de ningún método de resumen si funcionará. La técnica de reanudación más poderosa, basada en transseries resurgentes, es la más prometedora.

ryan thorngren · Answer 2

Tengo entendido que tomar la suma hasta el término mínimo en una serie asintótica da una precisión exponencialmente buena, pero no más. El término de error exponencialmente pequeño se puede atribuir a los sectores topológicos en algunos casos.
Cuando realizamos la reanudación de Borel, hay un fenómeno llamado "resurgimiento" donde estos términos exponenciales vienen en series que se ven como la serie de perturbaciones "vacío" pero con un prefactor como $e^{-S_0/g^2}$ dónde $S_0$ se interpreta como la acción instanton. La lista de ejemplos de esto crece cada día. Consulte este documento, por ejemplo (y los que hacen referencia a él): https://arxiv.org/abs/1210.2423 . Presumiblemente, después de reanudar la serie, converge a una respuesta exacta, al menos en los casos con resurgimiento. Sin embargo, no sé ningún teorema.

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usuario178876

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¿Hay alguna prueba de que cualquier resultado de la teoría de perturbaciones sea necesaria una serie asintótica?

serie divergente

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