¿Cómo integrar la ruta sobre la línea media?

Question

¿Cómo integrar la ruta sobre la línea media?

Física
integral de trayectoria
no perturbativo
teoría de la perturbación
teoría cuántica de campos

AccidentalFourierTransformar

Considere la integral de trayectoria sobre un campo escalar $\varphi$ :

Z = \int_{S} {mi}^{i S [φ]} d φ

$Z=\int_{\mathcal S}\ \mathrm e^{iS[\varphi]}\mathrm d\varphi$ dónde

S

$\mathcal S$ es algún espacio funcional (digamos, Schwartz o su dual).

¿Cómo podemos implementar la condición? $\varphi\ge0$ ? ¿Qué efecto tiene esta restricción, tanto a nivel perturbativo como no perturbativo?

Tenga en cuenta que esta no es simplemente una pregunta "por curiosidad". La situación anterior ocurre en la práctica (en su manifestación más simple, en el mecanismo de Higgs donde descomponemos $H(x)=\rho(x)\ \mathrm e^{i\sigma(x)}$ ; aquí la integral sobre $\rho$ está solo sobre la línea media $\rho\ge0$ ).

Espaguetificación cuántica

¿No podría incluir una función delta funcional o una función escalón de Heaviside en la integral? He visto algo similar hecho para integrales de trayectoria en variedades en física estadística.

AccidentalFourierTransformar

@Quantumspaghettification una función delta seleccionaría

φ \equiv 0

$\varphi\equiv0$ , así que no creo que eso funcione. Un Heaviside, por otro lado, selecciona

φ \geq 0

$\varphi\ge0$ , así que eso es bueno. No estoy seguro de cómo girar

Θ (φ)

$\Theta(\varphi)$ en algo manejable sin embargo. En cualquier caso, es motivo de reflexión, ¡así que gracias!

Espaguetificación cuántica

Nuevamente, partiendo de lo que sé de la física estadística, podría escribir el Heaviside en términos de su representación integral, que supongo que se puede generalizar al caso funcional.

Adán

En la teoría de la perturbación, generalmente se trabaja en el caso en que

⟨ ρ ⟩ \neq 0

$\langle\rho\rangle\neq 0$ (digamos, en la fase vev ordenada/que no desaparece), y se expande

ρ = ⟨ ρ ⟩ + δ ρ

$\rho=\langle\rho\rangle+\delta \rho$ . Entonces la integral sobre

δ ρ

$\delta \rho$ no está restringido (lo que generalmente está bien).

AccidentalFourierTransformar

@Adam seguro, en el caso simple en el que el proceso SSB se desencadena por un solo campo escalar, tiene razón. Pero en algunos casos, donde tiene varios campos escalares, solo algunos componentes adquieren un vev distinto de cero. El resto no, en cuyo caso las fluctuaciones en la dirección correspondiente se restringen a ser positivas.

Adán

Cuando no está en la fase ordenada, por lo general no se usa esta formulación de fase de amplitud, precisamente porque no es fácil cuidar la restricción. Tenga en cuenta que también puede usar una formulación mixta, dependiendo del componente, en principio (aunque no sé si esto se hace en la práctica).

qmecanico

Otras ideas son escribir

ρ

$\rho$ como, digamos,

ρ = ϕ^{2}

$\rho= \phi^2$ o

ρ = e^{ϕ}

$\rho=e^{\phi}$ , dónde

ϕ \in R

$\phi\in\mathbb{R}$ .

Slereah

¿Qué tal hacerlo a mano desde la definición límite de la integral, si eso es posible?

Respuestas (1)

¿Cómo integrar la ruta sobre la línea media?

¿No podría incluir una función delta funcional o una función escalón de Heaviside en la integral? He visto algo similar hecho para integrales de trayectoria en variedades en física estadística.
@Quantumspaghettification una función delta seleccionaría $\varphi\equiv0$ , así que no creo que eso funcione. Un Heaviside, por otro lado, selecciona $\varphi\ge0$ , así que eso es bueno. No estoy seguro de cómo girar $\Theta(\varphi)$ en algo manejable sin embargo. En cualquier caso, es motivo de reflexión, ¡así que gracias!
Nuevamente, partiendo de lo que sé de la física estadística, podría escribir el Heaviside en términos de su representación integral, que supongo que se puede generalizar al caso funcional.
En la teoría de la perturbación, generalmente se trabaja en el caso en que $\langle\rho\rangle\neq 0$ (digamos, en la fase vev ordenada/que no desaparece), y se expande $\rho=\langle\rho\rangle+\delta \rho$ . Entonces la integral sobre $\delta \rho$ no está restringido (lo que generalmente está bien).
@Adam seguro, en el caso simple en el que el proceso SSB se desencadena por un solo campo escalar, tiene razón. Pero en algunos casos, donde tiene varios campos escalares, solo algunos componentes adquieren un vev distinto de cero. El resto no, en cuyo caso las fluctuaciones en la dirección correspondiente se restringen a ser positivas.
Cuando no está en la fase ordenada, por lo general no se usa esta formulación de fase de amplitud, precisamente porque no es fácil cuidar la restricción. Tenga en cuenta que también puede usar una formulación mixta, dependiendo del componente, en principio (aunque no sé si esto se hace en la práctica).
Otras ideas son escribir $\rho$ como, digamos, $\rho= \phi^2$ o $\rho=e^{\phi}$ , dónde $\phi\in\mathbb{R}$ .
¿Qué tal hacerlo a mano desde la definición límite de la integral, si eso es posible?

David Bar Moshé · Answer 1

Para una partícula libre en la línea media, el requisito de que el hamiltoniano:

H = \frac{{pag}^{2}}{2 metro}

$H = \frac{p^2}{2m}$

es auto adjunto

(ψ, H ϕ) = (H ψ, ϕ) = ϕ (0) \frac{d ψ}{d X} (0) - ψ (0) \frac{d ϕ}{d X} (0)

$(\psi ,H \phi) = (H\psi , \phi) = \phi(0) \frac{d\psi}{dx}(0)-\psi(0) \frac{d\phi}{dx}(0)$

(esta condición significa que no hay probabilidad de cruce de corriente $x=0$ ), conduce a una familia de extensiones autoadjuntas caracterizadas por las condiciones de contorno:

ψ (0) = γ \frac{d ψ}{d X} (0)

$\psi(0) = \gamma \frac{d\psi}{dx}(0)$

El propagador de la solución general de la ecuación de Schrödinger con esta condición de contorno viene dado por:

GRAMO (X_{1}, X_{2}) = {GRAMO}_{0} (X_{2} - X_{1}) + {GRAMO}_{0} (X_{2} + X_{1}) - 2 γ \int_{0}^{\infty} d λ {mi}^{- γ λ} {GRAMO}_{0} (X_{2} + X_{1} + λ)

$G(x_1, x_2) = G_0(x_2-x_1)+G_0(x_2+x_1) - 2 \gamma \int_0^{\infty}d\lambda e^{-\gamma \lambda} G_0(x_2+x_1+\lambda)$

( $G_0$ es el propagador libre sin restricciones; Por favor, vea Gamboa )

Tanto Clark, Menikoff y Sharp como Fahri y Gutmann

mostró que este propagador se puede obtener a partir de una cuantificación integral de trayectoria de la acción libre con un potencial delta en el origen para trayectorias que se extienden desde $-\infty$ a $+\infty$ .

L = \frac{metro {\dot{X}}^{2}}{2} + γ d (X)

$L = \frac{m \dot{x}^2}{2} + \gamma \delta(x)$

Sin embargo, esta no es la única forma de cuantificar el movimiento en la línea media:

Isham , definió un esquema de cuantización basado en la transformación canónica:

(X, pag) \to ({mi}^{X}, {mi}^{- X} pag)

$(x, p) \rightarrow (e^x, e^{-x}p)$

Otro esquema de cuantificación se basa en la cuantificación de $\mathbb{R}^+$ como un espacio de cociente: por favor vea Tanimura

R^{+} = R^{2} / S O (2),

$\mathbb{R}^+ = \mathbb{R}^2/SO(2),$

Este método conduce a otra familia de hamiltonianos:

No tengo conocimiento de ninguna formulación de integral de trayectoria de los dos últimos métodos. Claramente, el último método conduce a cuantizaciones no equivalentes con respecto al primero. Estoy bastante seguro de que ambos métodos pueden fusionarse en un método unificado que incluya ambas familias de cuatizaciones.

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Espaguetificación cuántica

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Espaguetificación cuántica

Adán

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Adán

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Slereah

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David Bar Moshé

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