¿Qué significa una teoría no perturbativa?

Una teoría no perturbativa significa una teoría en la que todos los resultados se pueden calcular en principio con una precisión arbitraria en una computadora. Esto es realmente lo mismo que una teoría bien definida, una teoría que está bien matemáticamente y que tiene sentido, que no está incompleta de alguna manera con una energía alta o cuando se realizan mediciones con una precisión alta.

Un ejemplo de una teoría no perturbativa bien definida es QCD, donde puede colocar la teoría en una cuadrícula de espacio-tiempo, simularla en una computadora y tomar el límite del tamaño de cuadrícula pequeño para extraer todas las predicciones de la teoría (en principio --- esta es una tarea computacional difícil). El límite no es simple, hay que hacer la red más pequeña y ajustar los acoplamientos para que las masas físicas permanezcan fijas, pero el procedimiento es conocido (según los estándares físicos de rigor) para converger en el límite de pequeñas redes a algo sensible. .

Una teoría perturbativa significa una teoría en la que comienza con una aproximación de que las partículas no interactúan y agrega las interacciones de las partículas permitiéndoles dispersarse un poco, luego corrigiendo la dispersión de las partículas dispersas y luego corrigiendo la dispersión de las partículas doblemente dispersas. -partículas dispersas, etc. Este es el método de cálculo más conveniente, por lo que la mayoría de las teorías se formulan de esta manera. Pero existe el problema de que la dispersión de las partículas dispersas que son en sí mismas productos de la dispersión, etc., requiere una suma infinita, y la suma es divergente, solo produce resultados que mejoran por un tiempo, a medida que incluye más dispersiones. , luego, en un orden lo suficientemente alto (suficientes procesos de redispersión), los resultados que calcula comienzan a alejarse de la respuesta correcta y divergen.

Esto parece una molestia puramente matemática al principio, algo que se puede arreglar con un mejor método de sumar series infinitas. Pero no es puramente matemático, tiene una interpretación física. Considere una teoría con un tipo de partícula escalar que puede dispersarse por sí misma. Esta teoría se puede formular perturbativamente con una tasa de dispersión distinta de cero, pero si la pones en una cuadrícula, cuando llevas el tamaño de la cuadrícula a cero, las partículas escalares creadas a partir del vacío a pequeñas distancias se protegen entre sí para no sentir la interacción, y esto hace que la tasa de dispersión a largas distancias baje a cero. Esto también se conoce solo en el estándar físico de rigor. Entonces, la teoría perturbativa con una tasa de dispersión distinta de cero realmente no tiene sentido, se rompe si el tamaño de la cuadrícula es lo suficientemente pequeño.

Hay una manera de entender cualitativamente el polo de Landau en la teoría de campos escalares que es matemáticamente precisa para predecir la forma en que se desvanece la interacción. Si haces una cuadrícula y dibujas un camino aleatorio en la cuadrícula (marca un punto, muévete a uno de los vecinos al azar y marca ese punto, y sigue marcando un camino aleatorio), entonces dos de esos caminos se cruzarán con una probabilidad eso siempre va a cero a medida que haces la cuadrícula más fina en cuadrículas de 4 dimensiones. En menos de 4 dimensiones, las partículas pueden encontrarse entre sí. La probabilidad de que las partículas se encuentren entre sí tiende a cero como el espaciado de la red a la potencia 4-d, por lo que tiende a 0 para 5, 6, 7 dimensiones, tiende a algún valor finito en 1, 2, 3 dimensiones, y en 4 dimensiones, necesitas un mejor análisis, y ahí va a cero como el logaritmo del espaciado de la red. Esto significa que si piensas que las partículas se encuentran entre sí para interactuar, en 4 dimensiones, las partículas que caminan aleatoriamente solo podrán encontrarse entre sí en la medida en que el tamaño de la cuadrícula no sea cero. Si ve partículas puntuales interactuando por autointersección (como el bosón de Higgs en el modelo estándar), puede predecir que la red debe ser más grande que una cierta cantidad solo por la interacción observada. Este tamaño es exponencialmente pequeño en el acoplamiento, y para el modelo estándar de interacciones de Higgs (con la masa y los acoplamientos del Higgs ahora conocidos) es mucho más pequeño que la longitud de Planck. Si ve partículas puntuales interactuando por autointersección (como el bosón de Higgs en el modelo estándar), puede predecir que la red debe ser más grande que una cierta cantidad solo por la interacción observada. Este tamaño es exponencialmente pequeño en el acoplamiento, y para el modelo estándar de interacciones de Higgs (con la masa y los acoplamientos del Higgs ahora conocidos) es mucho más pequeño que la longitud de Planck. Si ve partículas puntuales interactuando por autointersección (como el bosón de Higgs en el modelo estándar), puede predecir que la red debe ser más grande que una cierta cantidad solo por la interacción observada. Este tamaño es exponencialmente pequeño en el acoplamiento, y para el modelo estándar de interacciones de Higgs (con la masa y los acoplamientos del Higgs ahora conocidos) es mucho más pequeño que la longitud de Planck.

Se conjetura que ocurrirá el mismo efecto, la desaparición de la tasa de dispersión a larga distancia, o un "polo de Landau", en la electrodinámica cuántica y en el modelo estándar (debido a la autointeracción de Higgs y también al grupo de calibre U(1) ). Nadie se preocupa por eso, porque la dispersión solo llega a cero como el logaritmo del tamaño de la cuadrícula, por lo que la cuadrícula donde se encuentran los problemas es más pequeña que la escala de Planck. Entonces, la aproximación perturbativa está bien, ya que no se aproxima a una teoría definida en el continuo, sino que se aproxima a otra cosa que toma el control a altas energías.

Idealmente, cuando tengamos una ecuación diferencial para resolver, intentaremos resolverla analíticamente. Encuentre funciones explícitas que codifiquen las variables. Las soluciones para un oscilador armónico, por ejemplo. Las soluciones de un potencial en la ecuación de Schroedinger. Esos son ejemplos de soluciones no perturbativas. Satisfacen las ecuaciones diferenciales (o integrales).

Sin embargo, algunas soluciones solo se pueden encontrar como una expansión en una suma de series de términos; si cada término mayor es menor que el anterior y se puede demostrar que la serie converge, esta es una solución válida, agregando términos mayores si se necesita más precisión. En problemas cotidianos estos son útiles para programarlos numéricamente y obtener la respuesta.

En física de partículas, esto se codifica en una "expansión perturbativa" que proviene de la " teoría de la perturbación ". Inicialmente, se asumió que los potenciales agregados a una teoría perturbaban las soluciones del sistema libre, de ahí la nomenclatura. Condujo a la formulación del diagrama de Feynman de secciones transversales para partículas que interactúan.

Entonces, no perturbativo debería significar una solución analítica limpia. Dependerá entonces del contexto donde se utilice el término.