¿De cuántas maneras pueden 555 estudiantes y 333 maestros sentarse alrededor de una mesa de manera que no haya dos maestros juntos?

Yo haría el problema exactamente como tú lo hiciste.

Aquí hay un enfoque alternativo para confirmar su respuesta.

Podemos alinear a los cinco estudiantes en$5!$caminos, dejando espacios entre ellos y en los extremos de la fila en los que insertar los maestros. Hay seis de esos espacios, cuatro entre estudiantes sucesivos y dos al final de la fila. Podemos insertar los tres maestros en$P(6, 3) = 6 \cdot 5 \cdot 4$maneras. esto nos da

$$5! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4$$ Arreglos lineales de estudiantes y profesores en los que no hay dos profesores consecutivos.

Sin embargo, dado que deseamos colocar a los estudiantes y maestros alrededor de una mesa circular de modo que no haya dos maestros sentados en asientos consecutivos, debemos excluir esos arreglos lineales en los que los maestros están en ambos extremos de la fila. Hay tres formas de seleccionar al maestro en el extremo izquierdo de la fila, dos formas de seleccionar al maestro en el extremo derecho de la fila y cuatro formas de colocar al maestro restante en uno de los cuatro espacios entre estudiantes sucesivos. Por lo tanto, hay

$$3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5!$$ Arreglos lineales en los que los maestros están en ambos extremos de la fila.

Por lo tanto, hay

$$6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 5! - 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5! = (120 - 24)5! = 96 \cdot 5!$$ arreglos lineales de maestros y estudiantes para que no haya dos maestros consecutivos y los maestros no estén en ambos extremos de la fila.

Estos arreglos lineales corresponden a las formas permitidas en que podemos sentar a los estudiantes y profesores alrededor de la mesa. Para tener en cuenta la invariancia rotacional, dividimos el número de arreglos lineales por$8$, cuyos rendimientos

$$\frac{96 \cdot 5!}{8} = 12 \cdot 5! = 1440$$ arreglos de asientos permitidos alrededor de una mesa circular, como usted encontró.

Estudiantes$S_1,\dots,S_5$, profesores$T_1,T_2,T_3$. Supongamos que ponemos$S_1$en un asiento en particular. Entonces hay$4!=24$formas de elegir el orden antihorario para los estudiantes restantes. Hay dos 5 posiciones posibles para los profesores. Podemos elegir cuál de ellos dejar desocupado en${5\choose2}=10$maneras, luego coloque a los maestros en los otros en$3!=6$maneras. Así que hemos llegado a 1440 formas.

Pero ahora, para cada una de estas formas, podríamos rotar a todos alrededor de la mesa (manteniendo el mismo orden), por lo que un gran total de$8\cdot1440=11520$maneras.