Señales luminosas que caen vistas por un observador en caída libre

El observador que cae puede 'ver' cualquier evento que haya en su cono de luz pasado. El cono de luz pasado del observador que cae en el punto de intersección con el horizonte no encierra toda la región exterior. De hecho, ningún punto de la trayectoria descendente lo hace, ni siquiera en la singularidad. Por lo tanto, el observador que cae inequívocamente no ve el "fin del Universo".

Permítanme resumir mi lectura de su objeción:

1. El observador que cae no cruza el horizonte de eventos en el tiempo finito de Schwarzschild.

2. Después del tiempo infinito de Schwarzschild, todas las líneas causales alcanzan el infinito temporal; es decir, están conectados causalmente con todas las señales luminosas exteriores.

3. Por lo tanto, después de un tiempo infinito de Schwarzschild, el observador que cae está conectado causalmente con todas las señales de luz que caen; "ve el fin del Universo".

4. Los eventos en sí mismos son marco-invariante. Por lo tanto, la experiencia del observador que cae debe ser presenciar el fin del Universo.

La premisa 2 es falsa. El observador que cae nunca alcanza el infinito temporal, ya sea en el tiempo de Schwarzschild (que no logra parametrizar toda la línea del mundo que cae) o incluso en el tiempo propio: alcanza un punto en la singularidad, y ese punto no está causalmente conectado a todas las señales de luz exterior.

Gracias a la respuesta proporcionada por @mmeent, deduje las circunstancias límite en las que un observador estático puede señalar a un observador que cae a cierta distancia del agujero negro.

De hecho, es el caso que tanto las geodésicas de la luz que viaja hacia adentro como las de un observador que cae se reducen a ecuaciones de la forma

$$r_{\rm light} - r_s \simeq A \exp[-t/r_s]$$ $$r_{\rm falling} - r_s \simeq B \exp[-t /r_s]$$ como $t \rightarrow \infty$y $r \rightarrow r_s$en ambos casos.

Entonces, la condición para que la luz intercepte al observador que cae es que$A/B < 1$como$t \rightarrow \infty$.

Esto es un poco como la paradoja de Zenón en el sentido de que, aunque la luz viaja más rápido que el observador que cae en todos los radios, y continuamente cierra la distancia, a menos que se cumpla la condición anterior, nunca lo alcanza.

He proporcionado una derivación completa de las condiciones para (i) un observador estacionario que es pasado por otro observador en caída libre desde el infinito y (ii) el caso de dos observadores, uno en reposo y el otro en caída libre desde la posición del primer observador.

En ambos casos, existe una cantidad máxima de tiempo coordinado (Schwarzschild) que puede transcurrir y que aún permite que una señal del observador estacionario llegue a un observador que cae. Los detalles completos se pueden encontrar en mi respuesta a esta pregunta . Los resultados son:

Caso (yo)

$$\Delta t < \ln \left(\frac{4r_s}{r_0 - r_s}\right)r_s + \left( \frac{2}{3}\left(\frac{r_0}{r_s}\right)^{3/2} + 2\left(\frac{r_0}{r_s}\right)^{1/2} - \ln \left| \frac{\sqrt{r_0/r_s} + 1}{\sqrt{r_0/r_s} -1}\right| - \frac{5}{3}\right)r_s - r_0$$ dónde $r_0$es la posición del observador que señala (ya través del cual pasa el observador que cae) y $r_s$es el radio de Schwarzschild.

Caso (ii)

$$\Delta t < r_s \ln \left(\frac{4r_s}{r_0}\right) + b_{\rm rs} + r_s - r_0$$ dónde $$b_{\rm rs} = r_s\left(\frac{r_0}{r_s}-1\right)^{1/2} \left( \eta_{\rm rs} + \frac{r_0}{2r_s}(\eta_{\rm rs} + \sin \eta_{\rm rs})\right),$$ $$\eta_{\rm rs} = \cos^{-1}\left(\frac{2r_s}{r_0} -1 \right).$$ La siguiente imagen representa estas funciones para los dos casos.

Su afirmación de que en las coordenadas de Schwarzschild "la luz siempre atrapa al observador" es falsa. Hay varios defectos en su lógica:

1. estas comparando$dr/dt$al mismo valor de$r$. Esto, por definición, significa que la luz ya ha alcanzado al observador por suposición.
2. Incluso si hiciste la comparación en fijo$t$, la afirmación $$\left|\frac{dr}{dt}\right|_{\rm light} > \left|\frac{dr}{dt}\right|_{\rm obs}$$ no implica automáticamente que la luz atrapará al observador. El contraejemplo obvio es si$r$es una función que decae exponencialmente. Suponer que $$r_\mathrm{obs}= 2+\exp(-t/2)$$ y $$r_\mathrm{light}= 2+2\exp(-t/2)$$ entonces $$\left|\frac{dr}{dt}\right|_{\rm light} > \left|\frac{dr}{dt}\right|_{\rm obs}$$ mientras $$r_\mathrm{obs} < r_\mathrm{light}$$ para todos$t$.

Esto es más que una declaración matemática, ya que las anteriores son soluciones aproximadas de la ecuación geodésica para partículas masivas y sin masa cerca del horizonte.

Editar:

Para aclarar la última declaración, la ecuación de movimiento para una geodésica que cae radialmente en el agujero negro de Schwarzschild se puede escribir:

$$\frac{dr}{dt} = - \frac{r-r_s}{r}\sqrt{1 + \frac{r-r_s}{r} \frac{\epsilon}{E^2}},$$

dónde$\epsilon$es 0 para geodésicas similares a la luz y -1 para geodésicas temporales, y$E$se conserva (matar) la energía de la partícula.

Escribiendo$r(t) = r_s + \delta r(t)$, esto se convierte

$$\frac{\delta r}{t} = -\frac{\delta r}{r_s} + O(\delta r^2).$$

Por lo tanto, cuando está cerca del horizonte, tanto la luz como el movimiento radial del observador se rigen por la misma ecuación, que tiene como solución general:

$$r \simeq r_s + A \exp(-t/r_s)$$ .

En consecuencia, si una vez cerca del horizonte la luz comienza más lejos del horizonte ($A_{light} >A_{obs}$, entonces la luz nunca (en tiempo coordinado$t$) alcanzar al observador.