Métrica de Schwarzschild en Universo en expansión

En las coordenadas de Schwarzschild, el elemento de línea de la métrica de Schwarzschild viene dado por:

d s 2 = ( 1 − r s r )   C 2 d t 2 − ( 1 − r s r ) − 1 d r 2 − r 2 ( d θ 2 + pecado 2 ⁡ θ   d ϕ 2 ) .

En el límite asintótico donde r >> r s la métrica de Schwartzschild se convierte en:

d s 2 = C 2 d t 2 − d r 2 − r 2 ( d θ 2 + pecado 2 ⁡ θ   d ϕ 2 ) ,

que es la métrica de Minkowski del espacio-tiempo plano.

Pero las observaciones muestran que los objetos astronómicos reales están incrustados en una métrica FRW espacialmente plana en expansión dada en coordenadas polares por:

d s 2 = C 2 d t 2 − a 2 ( t )   d r 2 − a 2 ( t )   r 2 ( d θ 2 + pecado 2 ⁡ θ   d ϕ 2 ) .

Por lo tanto, tal vez la métrica de Schwarzschild debería estar dada por:

d s 2 = ( 1 − r s r )   C 2 d t 2 − a 2 ( t ) ( 1 − r s r ) − 1 d r 2 − a 2 ( t )   r 2 ( d θ 2 + pecado 2 ⁡ θ   d ϕ 2 ) .

¿Quizás esta métrica solo sería útil para describir un sistema gravitacional cuyo tamaño es comparable al Universo mismo?

FWIW, la métrica de Schwarzschild es la solución de vacío para un espacio-tiempo estático y esféricamente simétrico. Piénsalo.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/2110/2451 y enlaces allí.
¿Ha intentado conectar eso al tensor de Einstein y averiguar cuál sería el tensor de energía de tensión y las ecuaciones para a(t)?

Respuestas (3)

Hacer coincidir la métrica de Schwarzschild con la métrica de un universo en expansión no es trivial. Einstein y Straus lo intentaron en la década de 1940 pero su artículo, según recuerdo, tiene un error. Una solución fue dada en 1956 por C. Gilbert en el MNRAS:

http://adsabs.harvard.edu/full/1956MNRAS.116..678G

Como decía, la solución no es baladí.

los objetos astronómicos reales están incrustados en una métrica FRW espacialmente plana en expansión

No precisamente. Si piensa en el cosmos como cúmulos de materia encima de un fondo FRW, está contando la misma materia dos veces: una en una distribución perfectamente uniforme y otra vez en su ubicación real agrupada.

Puede comenzar con FRW si planea construir la llamada solución de queso suizo eliminando por completo regiones esféricas de materia y reemplazándolas con geometrías esféricamente simétricas no homogéneas con la misma masa (como los agujeros negros de Schwarzschild) . En ese caso, no está contando nada dos veces, solo está tratando parte del asunto como homogéneo y parte como agrupado.

Si desea construir todo el cosmos a partir de materia agrupada, entonces no comience con FRW. Comienza con una aspiradora Minkowski o (anti) de Sitter, y termina con una geometría FRW cuando se agrega toda la materia. FRW es esencialmente un montón de parches de Schwarzschild cosidos y luego alisados ​​para eliminar las protuberancias locales.

En realidad, si escribe (1-2M/ra(t)) en sus coeficientes para los términos dt y dr en su métrica, tiene la métrica de McVittie, que se propuso en 1933. Aunque es una solución exacta a las ecuaciones de Einstein , ha habido mucha confusión en la literatura sobre lo que representa. Ver:

https://arxiv.org/abs/1003.4777

Métrica de Schwarzschild en Universo en expansión
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v