¿Se viola realmente la Paridad? (Aunque los neutrinos son masivos)

Question

¿Se viola realmente la Paridad? (Aunque los neutrinos son masivos)

Jak

La fuerza débil se acopla solo a los campos quirales izquierdos, lo que se expresa matemáticamente mediante un operador de proyección quiral. $P_L = \frac{1-\gamma_5}{2}$ en los correspondientes términos de acoplamiento en el Lagrangiano.

Este hecho curioso de la naturaleza se llama comúnmente violación de la paridad y me pregunto por qué. ¿Tiene sentido este nombre desde un punto de vista moderno?

Mi pregunta se basa en la observación:

Un espinor de Dirac (en la representación quiral) de quiralidad pura se transforma bajo transformaciones de paridad:

Ψ_{L} = {PAGS}_{L} Ψ = (\begin{matrix} x_{L} \\ 0 \end{matrix}) \to Ψ_{L}^{PAGS} = (\begin{matrix} 0 \\ x_{L} \end{matrix}) \neq Ψ_{R}

$\Psi_L = P_L \Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \Psi_L^P = \begin{pmatrix} 0\\ \chi_L \end{pmatrix} \neq \Psi_R$

La quiralidad es una cantidad invariante de Lorentz y una partícula quiral izquierda no se transforma en una partícula quiral derecha mediante transformaciones de paridad. (El objeto transformado vive en una representación diferente del grupo de Lorentz, donde el espinor de Weyl inferior denota la parte quiral izquierda .)

Entiendo de dónde viene históricamente el nombre (ver el último párrafo) pero, desde un punto de vista moderno, ¿la violación de la quiralidad no tendría mucho más sentido?

Algunos antecedentes:

Los fermiones son descritos por los espinores de Dirac, transformándose según la $(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2})$ representación de la (doble portada del) grupo Lorentz. Espinores de Weyl $\chi_L$ transformándose según el $(\frac{1}{2},0)$ representación se denominan quirales por la izquierda y las que se transforman según la $(0,\frac{1}{2})$ representación se denominan rectoquirales $\xi_R$ . Un espinor de Dirac es (en la representación quiral)

Ψ = (\begin{matrix} x_{L} \\ ξ_{R} \end{matrix})

$\Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix}$

El efecto de una transformación de paridad es

(\frac{1}{2}, 0) \underset{PAGS}{\underset{⏟}{\leftrightarrow}} (0, \frac{1}{2}),

$(\frac{1}{2},0) \underbrace{\leftrightarrow}_P (0,\frac{1}{2}),$ lo que significa que se intercambian los dos irreps del grupo Lorentz. (Esto se puede ver por ejemplo actuando con una transformación de paridad sobre los generadores del grupo de Lorentz). Eso significa que un espinor de Dirac transformado por paridad, se transforma de acuerdo con el

(0, \frac{1}{2}) \oplus (\frac{1}{2}, 0)

$(0,\frac{1}{2}) \oplus (\frac{1}{2},0)$ representación, lo que significa que tenemos

Ψ = (\begin{matrix} x_{L} \\ ξ_{R} \end{matrix}) \to Ψ^{PAGS} = (\begin{matrix} ξ_{R} \\ x_{L} \end{matrix})

$\Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} \rightarrow \Psi^P = \begin{pmatrix} \xi_R \\ \chi_L \end{pmatrix}$

Ahora podemos examinar el efecto de una transformación de paridad en un estado con quiralidad pura:

Ψ_{L} = {PAGS}_{L} Ψ = (\begin{matrix} x_{L} \\ 0 \end{matrix}) \to Ψ_{L}^{PAGS} = (\begin{matrix} 0 \\ x_{L} \end{matrix})

$\Psi_L = P_L \Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \Psi_L^P = \begin{pmatrix} 0\\ \chi_L \end{pmatrix}$

Esto significa que todavía tenemos un espinor quiral izquierdo, solo que escrito de manera diferente, después de una transformación de paridad y no un quiral derecho. La quiralidad es una cantidad invariante de Lorentz. Sin embargo, el hecho de que solo las partículas quirales izquierdas interactúen débilmente se denomina comúnmente violación de paridad y me pregunto si este sigue siendo un nombre sensato o solo tiene importancia histórica.

Breve comentario sobre la historia.

Sé que históricamente se suponía que los neutrinos no tenían masa, y para las partículas sin masa, la helicidad y la quiralidad son las mismas. Una transformación de paridad transforma una partícula levógira en una partícula levógira. En el famoso experimento de Wu, solo se pudieron observar neutrinos zurdos, de donde proviene el nombre de violación de paridad. Pero, ¿tiene sentido este nombre hoy que sabemos que los neutrinos tienen masa y, por lo tanto, quiralidad? $\neq$ helicidad

jerry schirmer

Las partículas en un mundo que consta de nada más que partículas levógiras se mueven de manera diferente a las partículas en un mundo por lo demás idéntico que consiste en nada más que partículas levógiras. ¿Derecha? Eso es todo lo que se entiende por violación de partido.

Respuestas (5)

¿Se viola realmente la Paridad? (Aunque los neutrinos son masivos)

Las partículas en un mundo que consta de nada más que partículas levógiras se mueven de manera diferente a las partículas en un mundo por lo demás idéntico que consiste en nada más que partículas levógiras. ¿Derecha? Eso es todo lo que se entiende por violación de partido.

robar · Answer 1

Sí, realmente se viola la paridad, incluso si los neutrinos son masivos. Parece estar confundiendo la relación entre paridad, helicidad y quiralidad en el modelo estándar moderno con la operación de simetría física de inversión espacial.

El experimento de Wu no midió la helicidad de los neutrinos. Wu y sus colaboradores prepararon una capa delgada de un núcleo emisor de beta con un giro bastante alto, polarizaron los núcleos y observaron que era más probable que las partículas beta se emitieran desde el "polo sur" del núcleo que desde el "polo norte". " ¿Por qué es esto una violación de la paridad? La forma en que definesel "polo norte" de un objeto giratorio es agarrarlo con la mano derecha, de modo que los dedos de la mano derecha se enrosquen en el mismo sentido que la rotación; el "polo norte" es donde va tu pulgar, y el "polo sur" es el otro. El reflejo del espejo (que es un caso especial de la transformación de paridad) convierte su mano derecha en una mano izquierda y cambia el polo que etiqueta como "norte" para el mismo sentido de rotación.

El siguiente artículo en ese número de PRL, por Garwin et al , muestra que los muones producidos en la desintegración $\pi\to\mu+\nu$ están polarizados. Tal polarización es una violación de la simetría de paridad porque el pión tiene giro cero y, por lo tanto, un pión detenido no puede expresar ninguna preferencia sobre las direcciones de giro de sus hijas. Este experimento también fue el primero en medir los momentos magnéticos del muón y el antimuón.

El enunciado de que uno puede producir polarizado $\mu$ de spinless $\pi$ en la decadencia $\pi\to\mu+\nu$ sugiere que en esa desintegración los neutrinos también deberían producirse polarizados. Sin embargo, generalmente se considera que la primera medición de la helicidad de los neutrinos fue la realizada por Goldhaber y colaboradores , más tarde en el mismo año. El análisis del experimento de Goldhaber requiere que dedique un poco de tiempo a pensar detenidamente en los espines nucleares.

En realidad, se descubrió en 1927 que las fuentes beta no polarizadas producen electrones ligeramente polarizados hacia la izquierda, aunque el significado no se entendía en ese momento y el artículo se olvidó hasta que Grodzins lo descubrió en 1958. Allan Franklin lo llama "el no descubrimiento de la paridad". no conservación".

La violación de la paridad es real en el sentido visceral de que si me mostraras una fotografía (suficientemente detallada) de un experimento de interacción débil con partículas polarizadas, en principio podría decirte si la fotografía se ha reflejado o no.

DosBs · Answer 2

Interacciones débiles con $W$ y $Z$ Los bosones de calibre violan la paridad simplemente porque los fermiones diestros y zurdos se acoplaron de manera diferente a $W$ y $Z$ . por ejemplo, el $W$ La pareja sólo para los campos zurdos. Una dinámica invariante de paridad requeriría que tanto el campo izquierdo como el derecho se acoplen de la misma manera al vector de calibre, ya que se intercambian bajo la transformación de paridad.

Un poco más técnicamente, los bosones de calibre deben transformarse como vectores polares bajo paridad (porque forman una derivada covariante con $\partial_\mu$ que es polar) y, por lo tanto, para preservar la paridad, deben acoplarse a la corriente del vector polar $J^\mu$ como $\bar{\Psi}\gamma^\mu\Psi$ . En cambio, el $W$ la pareja de $V-A$ corriente del tipo $\bar{\Psi}\gamma^\mu(1-\gamma^5)\Psi$ . Mientras que la $\gamma^\mu$ término se transforma como vector polar, no es difícil ver que el $\gamma^\mu\gamma^5$ transformación del término en su lugar como un vector axial. Para restaurar la paridad, se debe agregar una corriente derecha $\bar{\Psi}\gamma^\mu(1+\gamma^5)\Psi$ que se acopla con la misma fuerza a $W$ de manera que la $\gamma^5$ caería

Hola, gracias por tu respuesta. ¿Te refieres en el primer párrafo a la helicidad o quiralidad cuando hablas de fermiones levógiros y levógiros? Hasta donde yo sé, un campo de mano izquierda (helicidad) se transforma en un campo de mano derecha, pero un campo quiral izquierdo permanece quiral izquierdo. En el modelo estándar, la "violación de la paridad" se incorpora utilizando $1-\gamma_5$ , que es el operador de proyección Chirality. Si te entiendo bien dices que se viola la paridad porque bajo la paridad $\bar{\Psi}\gamma^\mu(1-\gamma^5)\Psi \rightarrow \bar{\Psi}\gamma^\mu(1+\gamma^5)\Psi$ ?!
En mi opinión esto no es correcto, porque tenemos $\Psi \rightarrow \gamma_0 \Psi$ , que cancela el signo menos que obtenemos de $\gamma_5 \rightarrow - \gamma_5$ y rendimientos $\bar{\Psi}\gamma^\mu(1-\gamma^5)\Psi \rightarrow \bar{\Psi}\gamma^\mu(1-\gamma^5)\Psi$ ...
@JacobH Lo siento, pero de hecho, la corriente VA se transforma en una corriente V+A. No es cuestión de opinar, sino de hacer correctamente la transformación. Piénsalo, un término $\bar{\Psi}\gamma^\mu\gamma^5\Psi$ no se llama corriente axial por nada. los $\gamma_5$ el término cambia de signo debido a la regla de transformación de $\Psi$ , no hay que insertar ningún signo menos adicional. En cuanto a tu pregunta, me refiero a los estados proyectados con $1-\gamma_5$ , pero importa mucho ya que puede hacer la misma pregunta incluso en el límite de partículas sin masa cuando el Higgs vev está apagado.
@JakobH Tuve un problema con mi corrector automático... 'Abajo' estaba destinado a ser 'no importa'... Espero que el resto sea lo suficientemente claro.

Paganini · Answer 3

Comprobemos que la paridad es violada por el lagrangiano de interacción débil:

L (X) = \bar{ψ} (X) γ^{m} \frac{(1 - γ^{5})}{2} ψ (X) W_{m} (X)

$\mathcal{L}(x) = \bar{\psi}(x) \gamma^\mu \frac{(1-\gamma^5)}{2} \psi(x) W_\mu(x)$ Decir que se viola la paridad significa que el lagrangiano transformado

L^{'} (x)

$\mathcal{L}'(x)$ no es igual al antiguo lagrangiano resultante de las nuevas coordenadas

L (x^{'})

$\mathcal{L}(x')$ dónde

x^{' 0} = x^{0}

$x'^0 = x^0$ y

\vec{x^{'}} = - \vec{x}

$\vec{x'} = -\vec{x}$ . En orden para evaluar

L^{'} (x)

$\mathcal{L}'(x)$ , hay que conocer las transformaciones del campo de fermiones

ψ (x)

$\psi(x)$ y el campo de bosones

W_{μ} (x)

$W_\mu(x)$ . Uno puede demostrar que

ψ^{'} (x) = η γ^{0} ψ (x^{'})

$\psi'(x) = \eta \gamma^0 \psi(x')$ con

η = \pm 1

$\eta = \pm 1$ la paridad intrínseca del campo

ψ

$\psi$ y

W_{0}^{'} (x) = η_{W} W_{0} (x^{'})

$W'_0(x) = \eta_W W_0(x')$ ,

W_{i}^{'} (x) = - η_{W} W_{i} (x^{'})

$W'_i(x) = -\eta_W W_i(x')$ (transformación habitual de un campo vectorial) con

η_{W} = \pm 1

$\eta_W = \pm 1$ la paridad intrínseca del campo vectorial. Por eso:

L^{'} (X) = \bar{ψ^{'}} (X) γ^{0} \frac{(1 - γ^{5})}{2} ψ^{'} (X) W_{0}^{'} (X) + \bar{ψ^{'}} (X) γ^{i} \frac{(1 - γ^{5})}{2} ψ^{'} (X) W_{i}^{'} (X)

$\mathcal{L}'(x) = \bar{\psi'}(x) \gamma^0 \frac{(1-\gamma^5)}{2} \psi'(x) W'_0(x)+\bar{\psi'}(x) \gamma^i \frac{(1-\gamma^5)}{2} \psi'(x) W'_i(x)$ donación:

L^{'} (X) = η^{2} η_{W} (\bar{ψ} (X^{'}) γ^{0} γ^{0} \frac{(1 - γ^{5})}{2} γ^{0} ψ (X^{'}) W_{0} (X^{'}) - \bar{ψ} (X^{'}) γ^{0} γ^{i} \frac{(1 - γ^{5})}{2} γ^{0} ψ (X^{'}) W_{i} (X^{'}))

$\mathcal{L}'(x) = \eta^2 \eta_W \left( \bar{\psi}(x') \gamma^0 \gamma^0 \frac{(1-\gamma^5)}{2} \gamma^0 \psi(x') W_0(x') - \bar{\psi}(x') \gamma^0 \gamma^i \frac{(1-\gamma^5)}{2} \gamma^0 \psi(x') W_i(x')\right)$ Conociendo las reglas de conmutación de los

γ

$\gamma$ matrices,

(γ^{0})^{2} = 1

$(\gamma^0)^2 = 1$ y

η^{2} = 1

$\eta^2 =1$ , se vuelve:

L^{'} (X) = η_{W} (\bar{ψ} (X^{'}) γ^{0} \frac{(1 + γ^{5})}{2} ψ (X^{'}) W_{0} (X^{'}) + \bar{ψ} (X^{'}) γ^{i} \frac{(1 + γ^{5})}{2} ψ (X^{'}) W_{i} (X^{'})) = η_{W} \bar{ψ} (X^{'}) γ^{m} \frac{(1 + γ^{5})}{2} ψ (X^{'}) W_{m} (X^{'})

$\mathcal{L}'(x) = \eta_W \left( \bar{\psi}(x') \gamma^0 \frac{(1+\gamma^5)}{2}\psi(x') W_0(x') + \bar{\psi}(x') \gamma^i \frac{(1+\gamma^5)}{2}\psi(x') W_i(x')\right) = \eta_W \bar{\psi}(x') \gamma^\mu \frac{(1+\gamma^5)}{2} \psi(x') W_\mu(x')$ Como ves, sea cual sea el valor de

η_{W} = \pm 1

$\eta_W = \pm 1$ , el lagrangiano transformado no puede ser igual a

L (x^{'})

$\mathcal{L}(x')$ :

L (X^{'}) = \bar{ψ} (X^{'}) γ^{m} \frac{(1 - γ^{5})}{2} ψ (X^{'}) W_{m} (X^{'})

$\mathcal{L}(x') = \bar{\psi}(x') \gamma^\mu \frac{(1-\gamma^5)}{2} \psi(x') W_\mu(x')$ justificando la violación de la paridad por la interacción débil.

Jak · Answer 4

Bien, creo que tengo una idea de por qué se usa la terminología, pero creo que este argumento tiene poco sentido:

El término lagrangiano que describe interacciones débiles tiene la forma

\bar{Ψ} γ_{m} {PAGS}_{L} Ψ W^{m}

$\bar \Psi \gamma_\mu P_L \Psi W^\mu$

Bajo transformaciones de paridad $\Psi \rightarrow \gamma_0 \Psi$ y $\bar \Psi \rightarrow \bar \Psi \gamma_0$ , por lo tanto

\bar{Ψ} γ_{m} {PAGS}_{L} Ψ W^{m} \to \bar{Ψ} γ_{0} γ_{m} {PAGS}_{L} γ_{0} Ψ W^{m}

$\bar \Psi \gamma_\mu P_L \Psi W^\mu \rightarrow \bar \Psi \gamma_0 \gamma_\mu P_L \gamma_0 \Psi W^\mu$

Podemos transformar la paridad transformada en Lagrangiana, usando la forma explícita de $P_L = \frac{1-\gamma_5}{2}$ y $\{\gamma_5, \gamma_\mu \}=0$ :

\bar{Ψ} γ_{0} γ_{m} {PAGS}_{L} γ_{0} Ψ W^{m} = \bar{Ψ} γ_{0} γ_{m} γ_{0} {PAGS}_{R} Ψ W^{m} = \bar{Ψ} γ_{m} {PAGS}_{R} Ψ W^{m}

$\bar \Psi \gamma_0 \gamma_\mu P_L \gamma_0 \Psi W^\mu = \bar \Psi \gamma_0 \gamma_\mu \gamma_0 P_R \Psi W^\mu = \bar \Psi \gamma_\mu P_R \Psi W^\mu$

lo que muestra que el término de interacción débil en el Lagrangiano no es invariante bajo transformaciones de paridad. ¡Creo que este argumento es incorrecto!

La discusión anterior pasa por alto que bajo transformaciones de paridad $\gamma_5 \rightarrow - \gamma_5$ . Si tenemos esto en cuenta, el término correspondiente en el Lagrangiano es invariante y las interacciones débiles son invariantes bajo transformaciones de paridad .

Podemos ver esto, porque para un espinor de Dirac ordinario tenemos el operador de proyección:

{PAGS}_{L} Ψ = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{L} \\ ξ_{R} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{L} \\ 0 \end{matrix}) = Ψ_{L}

$P_L \Psi = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \chi_L \\ 0 \end{pmatrix} = \Psi_L$

y por la paridad transformó a Dirac spinor $\Psi^P$ el operador de proyección quiral izquierda es

{PAGS}_{L}^{PAGS} Ψ^{PAGS} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} ξ_{R} \\ x_{L} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ x_{L} \end{matrix}) = Ψ_{L}^{PAGS}

$P_L^P \Psi^P = \begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 &1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi_R \\ \chi_L\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ \chi_L \end{pmatrix} = \Psi_L^P$

Los espinores de Dirac transformados por paridad viven en una representación diferente y, por lo tanto, necesitamos diferentes operadores de proyección. La discusión anterior muestra que bajo la transformación de paridad

{PAGS}_{L} \to {PAGS}_{L}^{PAGS} = \frac{1 + γ_{5}}{2} = {PAGS}_{R}

$P_L \rightarrow P_L^P = \frac{1+\gamma_5}{2} = P_R$ y por lo tanto la paridad transformada en lagrangiana se lee:

\bar{Ψ} γ_{0} γ_{m} {PAGS}_{R} γ_{0} Ψ W^{m} = \bar{Ψ} γ_{0} γ_{m} γ_{0} {PAGS}_{L} Ψ W^{m} = \bar{Ψ} γ_{m} {PAGS}_{L} Ψ W^{m}

$\bar \Psi \gamma_0 \gamma_\mu P_R \gamma_0 \Psi W^\mu = \bar \Psi \gamma_0 \gamma_\mu \gamma_0 P_L \Psi W^\mu = \bar \Psi \gamma_\mu P_L \Psi W^\mu$

que muestra la invariancia.

¡A cualquiera que haya votado negativo, un breve comentario sobre lo que está mal me ayudaría mucho!
No soy el que te rechazó, pero estás escribiendo muchas ecuaciones, difíciles de seguir cuando el OP solicita una descripción de la situación que muestra cómo se viola visiblemente la paridad, como la respuesta de Rob o el último comentario de Vladimir a su propia respuesta . (La respuesta de Valdimir, por otro lado, no es muy útil)

vladimir · Answer 5

vladimir

Supongo que es porque antes que nada cambias de signo de $\vec x$ a $- \vec x$ en el espacio físico (esta es la transformación de paridad en pocas palabras). Toda esta álgebra peculiar sobre los campos de quiralidad izquierdo y derecho proviene de $J = 1/2$ Representación del grupo de Lorenz, por lo que las reglas de transformación se definen como representantes de la transformación de paridad del espacio físico.

Jak

Hola @Vladimir, desafortunadamente, no estoy seguro de lo que intentas decir. ¿Qué significa para ti la violación de la paridad? ¿Y en qué sentido es entonces realmente violado?

vladimir

Hola, @JakobH, para mí, la violación de la paridad significa que la inversión de las coordenadas espaciales no mantiene igual la ley de la física. La gente solía esperar que la ley de la física siguiera siendo la misma bajo esta transformación, por ejemplo, la parte superior que gira en el sentido de las agujas del reloj bajo esta transformación girará en el sentido contrario a las agujas del reloj; todos los observables se "revertirán". Sin embargo, la violación de la paridad significa que algunas leyes no deberían cambiar de esta manera. El enlace del experimento de Wu en sí mismo es un buen ejemplo. Lo que trato de decir es que la noción de cambio de signo de coordenadas (inversión de paridad) es primordial para la transformación de paridad,

vladimir

..., y las leyes específicas para los neutrinos (y otros campos de espín 1/2) son solo una representación de la noción física de inversión. Su discusión se refiere al formalismo de esta transformación (matrices de transformación, definiciones de espinores izquierdo y derecho, etc.). Este formalismo está construido de tal manera que los observables apropiados cambian de signo. Por cierto, esta transformación se aplica a todos los campos, incluso a aquellos para los que la noción de quiralidad no tiene sentido (por ejemplo, para campos escalares, la función de onda es simplemente una función y la transformación de paridad es solo f(x) -> f(-x) ).

Jak

Sé sobre el experimento de Wu, pero ¿qué quieres decir con "algunas leyes no deberían cambiar de esta manera"? Por lo que sé, el resultado del experimento de Wu es que solo las partículas quirales izquierdas interactúan débilmente. Me pregunto por qué esto se llama violación de paridad.

vladimir

Hay una ilustración en el artículo del experimento de Wu, que demuestra la violación de la paridad. Esperaríamos (lo que implica la conservación de la paridad) que el experimento que en nuestro mundo tiene una dirección preferida en el mundo espejo tiene la misma dirección preferida, pero no es así. En nuestro mundo, solo un tipo de partículas de espín 1/2 interactúan con el bosón W. En el mundo del espejo (después de la transformación de paridad ), este tipo de partículas no interactúan con el bosón W, pero otro tipo sí lo hace. Entonces, la física es diferente después de la transformación de paridad.

¿Se viola realmente la Paridad? (Aunque los neutrinos son masivos)

Jak

jerry schirmer

Respuestas (5)

robar

DosBs

Jak

Jak

DosBs

DosBs

Paganini

Jak

Jak

Alfredo

vladimir

Jak

vladimir

vladimir

Jak

vladimir

¿Implementando una transformación como UaUUaUUaU y no como UaU−1UaU−1UaU^{-1}?

¿Por qué la simetría quiral de los campos de quarks tiene que estar asociada al sabor, no al color?

¿Existe una relación entre la simetría axial U(1)U(1)U(1) y las transformaciones de paridad?

¿Cómo puede una simetría proteger una cantidad?

¿Por qué nos importa la quiralidad?

¿Cuál es la diferencia entre la invariancia manifiesta de Lorentz y la invariancia canónica de Lorentz?

Espinores de Dirac bajo transformación de Paridad o ¿qué significan realmente los espinores de Weyl en un espinor de Dirac?

¿Puedes medir una simetría U(1)LU(1)LU(1)_L?

Representación compleja de un grupo de indicadores y una teoría de indicadores quirales

¿Cómo clasificar la simetría CCC, PPP y TTT?