Espinores de Dirac bajo transformación de Paridad o ¿qué significan realmente los espinores de Weyl en un espinor de Dirac?

Question

Espinores de Dirac bajo transformación de Paridad o ¿qué significan realmente los espinores de Weyl en un espinor de Dirac?

Jak

Mi problema es comprender el comportamiento de transformación de un espinor de Dirac (en la base de Weyl) bajo transformaciones de paridad. La respuesta estándar de los libros de texto es

Ψ^{PAGS} = γ_{0} Ψ = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{L} \\ ξ_{R} \end{matrix}) = (\begin{matrix} ξ_{R} \\ x_{L} \end{matrix}),

$\Psi^P = \gamma_0 \Psi = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \xi_R \\ \chi_L \end{pmatrix},$ que estoy tratando de entender usando el comportamiento de transformación de los espinores de Weyl

χ_{L}

$\chi_L$ y

ξ_{R}

$\xi_R$ . Entendería el operador de transformación anterior si por alguna razón

χ \to ξ

$\chi \rightarrow \xi$ bajo transformaciones de paridad, pero no sé si esto se puede justificar y cómo. ¿Hay alguna interpretación de

χ

$\chi$ y

ξ

$\xi$ que justifica tal comportamiento?

Algunos antecedentes:

Un espinor de Dirac en la base de Weyl se define comúnmente como

Ψ = (\begin{matrix} x_{L} \\ ξ_{R} \end{matrix}),

$\Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix},$ donde los índices

L

$L$ y

R

$R$ indican que los dos espinores de Weyl

χ_{L}

$\chi_L$ y

ξ_{R}

$\xi_R$ , transformar según el

(\frac{1}{2}, 0)

$(\frac{1}{2},0)$ y

(0, \frac{1}{2})

$(0,\frac{1}{2})$ representación del grupo Lorentz respectivamente. Un espinor de la forma

Ψ = (\begin{matrix} x_{L} \\ x_{R} \end{matrix}),

$\Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ \chi_R \end{pmatrix},$ es un caso especial, llamado Majorana spinor (que describe partículas que son sus propias antipartículas), pero en general

χ \neq ξ

$\chi \neq \xi$ .

Podemos derivar fácilmente cómo se comportan los espinores de Weyl bajo transformaciones de paridad. Si actuamos con una transformación de paridad en un espinor zurdo $\chi_L$ :

x_{L} \to x_{L}^{PAGS}

$\chi_L \rightarrow \chi_L^P$ podemos deducir que

χ_{L}^{P}

$\chi_L^P$ se transforma bajo impulsos como un espinor diestro

x_{L} \to x_{L}^{'} = {mi}^{\frac{\vec{θ}}{2} \vec{σ}} x_{L}

$\begin{equation} \chi_L \rightarrow \chi_L' = {\mathrm{e }}^{ \frac{\vec{\theta}}{2} \vec{\sigma}} \chi_L \end{equation}$

x_{L}^{PAGS} \to (x_{L}^{PAGS})^{'} = ({mi}^{\frac{\vec{θ}}{2} \vec{σ}} x_{L})^{PAGS} = {mi}^{- \frac{\vec{θ}}{2} \vec{σ}} x_{L}^{PAGS},

$\begin{equation} \chi_L^P \rightarrow (\chi^P_L)' = ({\mathrm{e }}^{ \frac{\vec{\theta}}{2} \vec{\sigma}} \chi_L)^P = {\mathrm{e }}^{ - \frac{\vec{\theta}}{2} \vec{\sigma}} \chi_L^P, \end{equation}$ porque debemos tener bajo la transformación de paridad

\vec{σ} \to - \vec{σ}

$\vec \sigma \rightarrow - \vec \sigma$ . Podemos concluir

χ_{L}^{P} = χ_{R}

$\chi_L^P = \chi_R$ Por lo tanto, un espinor de Dirac se comporta bajo transformaciones de paridad

Ψ = (\begin{matrix} x_{L} \\ ξ_{R} \end{matrix}) \to Ψ^{PAGS} = (\begin{matrix} x_{R} \\ ξ_{L} \end{matrix}),

$\Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} \rightarrow \Psi^P= \begin{pmatrix} \chi_R \\ \xi_L \end{pmatrix} ,$ Cuál está mal. En los libros de texto, la transformación de paridad de un espinor de Dirac viene dada por

Ψ^{PAGS} = γ_{0} Ψ = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{L} \\ ξ_{R} \end{matrix}) = (\begin{matrix} ξ_{R} \\ x_{L} \end{matrix}) .

$\Psi^P = \gamma_0 \Psi = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \xi_R \\ \chi_L \end{pmatrix}.$

Esto es sólo equivalente a la transformación descrita anteriormente de $\chi = \xi$ , que a mi entender solo es cierto para Majorana spinors, o si por alguna razón bajo transformaciones de paridad $\chi \rightarrow \xi$ . Creo que esto último es cierto, pero no sé por qué debería ser así. Tal vez esto se pueda entender tan pronto como uno tenga una interpretación para esos dos espinores. $\chi$ y $\xi$ ...

Actualización : aparece un problema similar para la conjugación de carga: considerando los espinores de Weyl, uno puede mostrar fácilmente que $i \sigma_2 \chi_L^\star$ se transforma como un espinor diestro, es decir $i \sigma_2 \chi_L^\star = \chi_R$ . Nuevamente, esto no puede ser completamente correcto porque significaría que un espinor de Dirac se transforma bajo la conjugación de carga como

Ψ = (\begin{matrix} x_{L} \\ ξ_{R} \end{matrix}) \to Ψ^{C} = (\begin{matrix} x_{R} \\ ξ_{L} \end{matrix}),

$\Psi= \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} \rightarrow \Psi^c = \begin{pmatrix} \chi_R \\ \xi_L \end{pmatrix},$ lo cual es incorrecto (y significaría que una transformación de paridad es lo mismo que una conjugación de carga). Sin embargo, podríamos argumentar que para obtener el mismo tipo de objeto, es decir, nuevamente un espinor de Dirac, debemos tener

Ψ = (\begin{matrix} x_{L} \\ ξ_{R} \end{matrix}) \to Ψ^{C} = (\begin{matrix} ξ_{L} \\ x_{R} \end{matrix}),

$\Psi= \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} \rightarrow \Psi^c = \begin{pmatrix} \xi_L \\ \chi_R \end{pmatrix},$

porque solo entonces $\Psi^c$ se transforma como $\Psi$ . En otras palabras: Escribimos la componente derecha siempre debajo de la componente izquierda, porque solo entonces el espinor se transforma como el espinor de Dirac con el que comenzamos.

De hecho, esta es la conjugación estándar de carga de los libros de texto, que se puede escribir como

Ψ^{C} = i γ_{2} Ψ^{⋆} = i (\begin{matrix} 0 & σ_{2} \\ - σ_{2} & 0 \end{matrix}) Ψ^{⋆} = i (\begin{matrix} 0 & σ_{2} \\ - σ_{2} & 0 \end{matrix}) {(\begin{matrix} x_{L} \\ ξ_{R} \end{matrix})}^{⋆} = (\begin{matrix} - i σ_{2} ξ_{R}^{⋆} \\ i σ_{2} x_{L} \end{matrix}) = (\begin{matrix} ξ_{L} \\ x_{R} \end{matrix}) .

$\Psi^c = i \gamma_2 \Psi^\star= i \begin{pmatrix} 0 & \sigma_2 \\ -\sigma_2 & 0 \end{pmatrix} \Psi^\star = i \begin{pmatrix} 0 & \sigma_2 \\ -\sigma_2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix}^\star= \begin{pmatrix} -i\sigma_2 \xi_R^\star \\ i\sigma_2 \chi_L \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \xi_L \\ \chi_R \end{pmatrix} .$ En la última línea usé eso,

i σ_{2} χ_{L}^{⋆}

$i \sigma_2 \chi_L^\star$ se transforma como un espinor diestro, es decir

i σ_{2} χ_{L}^{⋆} = χ_{R}

$i \sigma_2 \chi_L^\star = \chi_R$ . La posible conjugación de carga del libro de texto nos sugiere una interpretación, como

χ

$\chi$ y

ξ

$\xi$ tienen carga opuesta (como está escrito por ejemplo aquí ), porque esta transformación está dada básicamente por

χ \to ξ

$\chi \rightarrow \xi$ .

Respuestas (2)

Espinores de Dirac bajo transformación de Paridad o ¿qué significan realmente los espinores de Weyl en un espinor de Dirac?

nefente · Answer 1

Está buscando una representación unitaria de la paridad en espinores. Que debería ser unitario se puede ver por el hecho de que la paridad conmuta con el hamiltoniano. Compare esto con la inversión de tiempo y la conjugación de carga, que anticonmutan con $P^0$ y por lo tanto necesita ser antiunitario y antilineal. Implican una conjugación compleja.

Como se demostró, la paridad transforma un $(\frac{1}{2},0)$ en un $(0,\frac{1}{2})$ representación. Por lo tanto, no puede actuar sobre ninguna de esas representaciones por sí sola de manera significativa. Los espinores de Dirac en la base de Weyl, por otro lado, contienen un componente de mano izquierda y derecha

Ψ = (\begin{matrix} x_{L} \\ ξ_{R} \end{matrix})

$\Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix}$

Como operador lineal en esos espinores, una matriz en una base elegida, mezcla los componentes del espinor. Después de lo que se ha dicho antes, los componentes para zurdos y para diestros deberían transformarse entre sí. La única matriz que se puede escribir que hace esto es $\gamma^0$ . En principio, podría haber un factor de fase. En una teoría con global $U(1)$ -simetría esto se puede establecer en uno sin embargo.

Editar : Declaraciones como $\chi_L \rightarrow P\chi_L=\chi_R$ para un Weyl-Spinor $\chi_L$ no son sensatos. Los espinores de Weyl son repeticiones. de $\mathrm{Spin(1,3)}$ , mientras $P\in \mathrm{Pin(1,3)}$ . No se puede esperar que alguna representación sea también una representación de un grupo más grande . Los Dirac-spinors, por otro lado, son precisamente irreps. de $\mathrm{Spin(1,3)}$ incluyendo la paridad, que no puede actuar de otra manera sensata que intercambiando los componentes quirales.

Piensa en lo que significa representación. Es un homomorfismo de un grupo a los mapas lineales invertibles en un espacio vectorial.

ρ : GRAMO \to GRAMO L (V)

$\rho: G \rightarrow GL(V)$ En particular, para cualquier

g \in G

$g\in G$ y

v \in V

$v\in V$ ,

ρ (g) v \in V

$\rho(g)v\in V$ . Ahora configura

V

$V$ ser el espacio de, digamos, Weyl-spinors zurdos y

g = P \in P i n (1, 3)

$g=P\in\mathrm{Pin(1,3)}$ la operación de paridad. Como ha mostrado arriba, la imagen de un potencial

ρ (P)

$\rho(P)$ no es un Weyl-spinor zurdo, por lo que no está representado.

¡Gracias por tu respuesta! Entiendo que bajo transformaciones de paridad $(\frac{1}{2},0) \leftrightarrow (0,\frac{1}{2})$ . Por lo tanto, el espinor transformado por paridad tendrá un espinor dextrógiro como componente superior y un espinor dextrógiro como componente inferior. Sin embargo, no sería igualmente viable una paridad transformada en espinor de Dirac $\Psi = \begin{pmatrix} \chi_L \\ \xi_R \end{pmatrix} \rightarrow \Psi^P = \begin{pmatrix} \chi_R \\ \xi_L \end{pmatrix}?$
@JacobH: amplié mi respuesta para aclararla en respuesta a sus comentarios.
@JakobH He actualizado la respuesta. Tal vez esto ayude. Vuelva a preguntar en cualquier momento.

Esteban Blake · Answer 2

Encuentro que las cosas son más claras usando la notación de espinor con puntos y sin puntos. Los espinores L $\chi_{L}$ Vectores de dot dot $\chi^{\dot{A}}$ y los espinores R $\xi_{R}$ son vectores sin puntos $\xi^{A}$ con índice $A=1,2$ . El operador de paridad tiene que ser un tensor. $P^{\dot{A}}_{B}$ y otro tensor $P^{A}_{\dot{B}}$ para cambiar la forma en que se transforma cada tipo de espinor. La acción de la paridad sobre $\chi^{\dot{A}}$ Es hacer $P^{A}_{\dot{B}}\chi^{\dot{B}}$ que se transforma en un espinor sin puntos. Del mismo modo, la acción de la paridad sobre $\xi^{A}$ Es hacer $P^{\dot{A}}_{B}\xi^{B}$ que se transforma en un espinor punteado. Resulta que (presumiblemente en el marco de reposo de las partículas) los tensores de paridad son $P^{\dot{A}}_{B}=i\delta^{\dot{A}}_{B}$ y $P^{A}_{\dot{B}}=i\delta^{A}_{\dot{B}}$ . La acción de la paridad es entonces,

x^{\dot{A}} \to {PAGS}_{\dot{B}}^{A} x^{\dot{B}} = i d_{\dot{B}}^{A} x^{\dot{B}} = i x^{A}

$\chi^{\dot{A}}\rightarrow P^{A}_{\dot{B}}\chi^{\dot{B}}=i\delta^{A}_{\dot{B}}\chi^{\dot{B}}=i\chi^{A}$

ξ^{A} \to {PAGS}_{B}^{\dot{A}} ξ^{B} = i d_{B}^{\dot{A}} ξ^{B} = i ξ^{\dot{A}}

$\xi^{A}\rightarrow P^{\dot{A}}_{B}\xi^{B}=i\delta^{\dot{A}}_{B}\xi^{B}=i\xi^{\dot{A}}$ y esto significa que los componentes de los espinores obtienen una fase y la forma en que se transforman los componentes cambia. Los puntos son un recordatorio de cómo se transforma cada componente. La acción de la paridad en un espinor de Dirac se obtiene de las transformaciones anteriores apilando los espinores de Weyl.

[\begin{matrix} x^{\dot{1}} \\ x^{\dot{2}} \\ ξ^{1} \\ ξ^{2} \end{matrix}] \to i [\begin{matrix} ξ^{\dot{1}} \\ ξ^{\dot{2}} \\ x^{1} \\ x^{2} \end{matrix}]

$\begin{equation} \left[ \begin{array}{c} \chi^{\dot{1}}\\ \chi^{\dot{2}}\\ \xi^{1}\\ \xi^{2} \end{array} \right] \rightarrow i\left[ \begin{array}{c} \xi^{\dot{1}}\\ \xi^{\dot{2}}\\ \chi^{1}\\ \chi^{2} \end{array} \right] \end{equation}$

Edito: Aclaración. El espinor de Dirac tiene cuatro componentes. Los componentes uno y dos se transforman como los dos componentes de un espinor de Weyl punteado y los componentes tres y cuatro se transforman como los componentes de un espinor de Weyl sin punto. Si recordamos que así es como los espinores de Weyl se apilan en un espinor de Dirac, entonces podemos eliminar los puntos y las etiquetas L y R y luego la última ecuación sobre la acción de la paridad en un espinor de Dirac es,

[\begin{matrix} x^{1} \\ x^{2} \\ ξ^{1} \\ ξ^{2} \end{matrix}] \to i [\begin{matrix} ξ^{1} \\ ξ^{2} \\ x^{1} \\ x^{2} \end{matrix}]

$\begin{equation} \left[ \begin{array}{c} \chi^{1}\\ \chi^{2}\\ \xi^{1}\\ \xi^{2} \end{array} \right] \rightarrow i\left[ \begin{array}{c} \xi^{1}\\ \xi^{2}\\ \chi^{1}\\ \chi^{2} \end{array} \right] \end{equation}$ En notación matricial esto es,

[\begin{array}{cc} i & 0 \\ 0 & i \end{array}] [\begin{matrix} x \\ ξ \end{matrix}] = i [\begin{matrix} ξ \\ x \end{matrix}]

$\begin{equation} \left[ \begin{array}{cc} i & 0\\ 0 & i \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \chi\\ \xi \end{array} \right]=i\left[ \begin{array}{c} \xi\\ \chi \end{array} \right] \end{equation}$ Módulo el factor de fase

i

$i$ (porque creo que el operador de paridad en espinores tiene que ser PP=-1), esto concuerda con la acción de paridad dada por la matriz gamma

γ_{0}

$\gamma_{0}$ como en los textos estándar como la ecuación (1.4.42) en la página 19 de la "Teoría de campo" de Ramond, segunda edición.

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