¿Por qué nos importa la quiralidad?

La paridad implica una transformación que cambia el signo algebraico del sistema de coordenadas. La paridad es una idea importante en la mecánica cuántica porque las funciones de onda que representan partículas pueden comportarse de diferentes maneras al transformarse el sistema de coordenadas que las describe. Bajo la transformación de paridad:

La transformación de paridad cambia un sistema de coordenadas diestro a uno zurdo o viceversa. Dos aplicaciones de la transformación de paridad restauran el sistema de coordenadas a su estado original.

Es una presuposición razonable que a la naturaleza no debería importarle si su sistema de coordenadas es diestro o zurdo, pero, sorprendentemente, resulta que no es así. En un famoso experimento de CS Wu, se demostró la no conservación de la paridad en la desintegración beta.

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experimentos posteriores han demostrado consistentemente que un neutrino siempre tiene su momento angular intrínseco (giro) apuntando en la dirección opuesta a su velocidad. Como resultado, se llama una partícula levógira. Los antineutrinos tienen sus giros paralelos a su velocidad y, por lo tanto, son partículas dextrógiras. Por tanto decimos que el neutrino tiene una quiralidad intrínseca.

"Chiral" es un adjetivo que proviene de la antigua palabra griega que significa "mano" (χείρ).

Cuando se describió la lateralidad observada de partículas e interacciones específicas con las matemáticas de la teoría cuántica de campos, se eligió el adjetivo "quiral", en lugar de "lateralidad". La idea física es que tenerlo en QFT permite el correcto modelado de los datos por QFT.

Daré una respuesta un poco más matemática. Primero permítanme expandirme sobre de qué se trata la quiralidad. Los campos cuánticos se transforman en representaciones específicas del grupo de Lorentz. Las representaciones irreductibles se conocen como$(A,B)$representaciones y se etiquetan con dos enteros o semienteros$A$y$B$. Si nunca ha visto esto, consulte el capítulo 5 de La teoría cuántica de los campos de Weinberg.

las representaciones$(\frac{1}{2},0)$y$(0,\frac{1}{2})$son las representaciones de Weyl. Los campos que se transforman en esas representaciones tienen giro$\frac{1}{2}$, por lo que son fermiones, y se conocen como fermiones quirales . Los que están en el$(\frac{1}{2},0)$representación se denominan fermiones de Weyl zurdos y los de la$(0,\frac{1}{2})$representación se denominan fermiones de Weyl dextrógiros. Es posible demostrar que estos pueden tomarse como bloques de construcción para todos los demás campos, por lo que matemáticamente ya son bastante relevantes.

Los fermiones quirales tienen la peculiar propiedad de que son necesariamente partículas sin masa. La razón de ello es que para construir un término de masa invariante de Lorentz en una densidad lagrangiana se necesita tanto un objeto del$(\frac{1}{2},0)$representación y otra de la$(0,\frac{1}{2})$representación. ¡Un fermión quiral independiente no admite un término de masa !

Por otro lado, los fermiones estándar de Dirac, como los que encontramos en QED, tienen masa. El campo de Dirac se transforma en la representación$(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})$y por lo tanto puede entenderse como un objeto compuesto formado por dos fermiones quirales. Este es un caso particular de lo que he dicho que son bloques de construcción para todas las representaciones. Aquí es donde el$\gamma^5$entra la historia: los proyectores quirales aplicados a un campo de Dirac proyectan sobre las representaciones irreducibles de Weyl de mano derecha o izquierda.

Ahora haciendo más contacto con lo que encontramos en el mundo real, considere el modelo estándar. Es una teoría de calibre con un grupo de calibre${\rm SU}_{\rm C}(3)\times {\rm SU}_{\rm L}(2)\times {\rm U}_{\rm Y}(1)$. Esta teoría se construye desde cero con fermiones quirales. Considere, por ejemplo, los leptones en el sector electrodébil${\rm SU}_{\rm L}(2)\times {\rm U}_{\rm Y}(1)$. Uno de esos leptones sería el electrón. Como sabemos que en el mundo real los leptones tienen masa, asignamos a cada leptón dos fermiones quirales$\ell_L$y$\ell_R$. Pero por cada leptón tenemos un neutrino asociado y el neutrino en el Modelo Estándar , no tiene masa. De hecho, el neutrino de lepton$\ell$obtiene un solo fermión zurdo quiral$\nu_\ell$.

Ahora ves ese pequeño${\rm L}$he anotado en el${\rm SU}(2)$¿grupo? Es para recordarnos que la parte zurda de cada leptón,$\ell_L$, y el neutrino asociado$\nu_\ell$, inventa uno${\rm SU}(2)$doblete$L_\ell=\begin{pmatrix}\nu_\ell \\ \ell_L\end{pmatrix}$. Estos campos se cobran bajo${\rm SU}(2)$, mientras que la parte derecha del leptón,$\ell_R$, es uno${\rm SU}(2)$singlete, y por lo tanto es neutral bajo${\rm SU}(2)$.

En ese escenario, un término de masa explícito para el leptón se acoplaría$\ell_L$y$\ell_R$y esto sería incompatible con la simetría que tenemos. Al fin y al cabo, el mecanismo de Higgs da lugar a un término de masa en la fase de simetría rota, a través del acoplamiento de Yukawa del leptón al campo de Higgs. Por supuesto, el campo de Higgs tiene los números cuánticos correctos para que el acoplamiento sea simétrico. Después de todo, en Rotura de simetría espontánea, el lagrangiano es simétrico y la simetría se rompe por el vacío, que no es invariante.

Por supuesto, no es posible dar una descripción completa de la teoría electrodébil en una sola respuesta, pero espero que estos breves comentarios dejen en claro que la quiralidad tiene una fuerte presencia en el modelo estándar.

Aún con respecto al Modelo Estándar, también está el sector QCD${\rm SU}_{\rm C}(3)$del modelo estándar, en el que la simetría quiral juega un papel importante en la discusión de la generación de masa, como he mencionado en el comentario.

Finalmente, también me gustaría decir que en la supersimetría los fermiones quirales son bastante naturales. Hay dos formalismos equivalentes para SUSY: uno que usa fermiones quirales, que encontramos por ejemplo en Wess & Bagger, y otro que usa fermiones de Majorana. Como son equivalentes, esto termina siendo una cuestión de gustos. Personalmente, encuentro que el formalismo con fermiones quirales es más elegante y agradable de manipular.

Lo que distingue a las proyecciones quirales de otras proyecciones es que son invariantes bajo (conmutan con) transformaciones continuas de Lorentz. Por lo tanto, es posible tener una teoría en la que solo exista una "mitad" proyectada del espinor, pero que aún sea invariante de Lorentz. Es interesante. Y el mundo real resulta ser así, por lo que también es importante.

Para motivar las proyecciones geométricamente, permítanme comenzar con un caso más sencillo, que es la rotación en 4+0 dimensiones.

En 4 o más dimensiones espaciales, es posible tener una rotación simultánea independiente (conmutada) en dos planos perpendiculares.

Una rotación general en cuatro dimensiones es una rotación de diferentes ángulos (que pueden ser cero) en planos perpendiculares. Sin embargo, siempre puedes escribir cualquier rotación como una composición de dos rotaciones por ángulos iguales en planos perpendiculares. Una rotación por$θ$en el$wx$avión y$φ$en el$yz$plano es una rotación por$(θ+φ)/2$en el$wx$y$yz$planos compuestos con una rotación por$(θ-φ)/2$en el$wx$y$zy$aviones, donde he invertido el orden de$zy$para que la rotación sea en sentido contrario.

Además, como en tres dimensiones, las bases ortonormales en cuatro dimensiones se pueden clasificar como dextrógiras o zurdas, y las rotaciones equiángulos se pueden clasificar como dextrógiras o zurdas dependiendo de si los planos de rotación están "concatenados" ($wxyz$o$wxzy$) forman un marco de coordenadas de mano derecha o izquierda. Luego, cada rotación se descompone no solo en dos rotaciones equiangulares, sino en una rotación equiangular a la derecha y otra a la izquierda.

En el caso de campos sin masa en espacio-tiempo de 3+1 dimensiones, hay rotación en el plano 2D perpendicular a la dirección de propagación, y también hay rotación en dimensiones internas correspondientes a las fuerzas de calibre.

En el caso más simple,$U(1)\cong SO(2)$, hay un plano interno de rotación, por lo que cuando lo combina con la rotación espacial tiene dos planos perpendiculares, y puede descomponer la rotación en rotaciones equiángulos de sentido opuesto como antes. Es posible que sólo uno de los dos exista. Convencionalmente, la rotación interna está representada por una fase compleja; esa es la razón por la que hay un factor de$i$en$γ^5$. No hay descomposición quiral sin el campo de calibre interno, pero en 5+1 dimensiones la habría, ya que tendría cuatro dimensiones espaciales perpendiculares a la propagación.

Esta simple teoría de calibre quiral es en gran parte académica ya que el único físicamente relevante$U(1)$la teoría de calibre es QED, que no es quiral.

El grupo de calibre completo del modelo estándar tiene una estructura complicada, pero puede integrarse en SO(10) , el grupo de rotaciones del espacio de 10 dimensiones. (En realidad en Spin (10), pero eso está fuera del alcance de esta respuesta). Por lo tanto, tiene un total de 12 dimensiones perpendiculares a la propagación y rotación en 6 planos perpendiculares, uno externo y 5 internos. Todavía es posible descomponer la rotación en partes derechas e izquierdas, aunque la interpretación geométrica de esto en más de 4 dimensiones no me queda clara. Es posible que exista una sola mano sin romper la invariancia continua de Lorentz, y eso resulta ser cierto en la realidad.