¿Puedes medir una simetría U(1)LU(1)LU(1)_L?

Hace poco estuve calculando la corrección de un bucle para el propagador de un bosón de calibre,

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Asumí acoplamientos arbitrarios izquierdo y derecho,$g _L$y$g _R$. Descubrí que la corrección de un bucle era,

$$\begin{equation} = \frac{ - 4i }{ ( 4\pi ) ^{ d / 2}} \int dx \frac{ \Gamma ( 2 - d / 2 ) }{ \Delta ^{ 2 - d /2 }} \left[ ( g _L ^2 + g _R ^2 ) x ( 1 - x ) \left( g _{ \mu \nu } - \frac{ p _\mu p _\nu }{ p ^2 } \right) + g _{ \mu \nu } ( g _L ^2 - g _R ^2 ) m ^2 \right] \end{equation}$$ Ahora también sabemos que para un$U(1)$teoría invariante, deberíamos tener la identidad de Ward y, por lo tanto, esta corrección de bucle sería de la forma, $$\begin{equation} \Pi _{ \mu \nu } = \Pi ( p ^2 ) \left( g _{ \mu \nu } - \frac{ p _\mu p _\nu }{ p ^2 } \right) \end{equation}$$ Entonces parece que para que este propagador surja de un$U(1)$teoría invariante, debemos tener$g _L = g _R$(a menos que haya cometido un error). Encontré esto muy extraño. ¿No es posible medir un$U(1) _L$simetría y si es así por qué?

Como ejemplo de trabajo, inventé la siguiente teoría que parece que podría medirse:

$$\begin{equation} {\cal L} = i \psi ^\dagger \bar{\sigma} ^\mu \partial _\mu \psi + i \chi \sigma ^\mu \partial _\mu \chi + \phi ^0 \chi \chi + \phi ^{+ + } \psi \psi + \phi \mbox{ terms} \end{equation}$$ dónde$\psi$es un espinor quiral izquierdo y$\chi$es un espinor quiral recto. Las partículas se transforman bajo la simetría como, $$\begin{equation} \psi \rightarrow e ^{ i \alpha } \quad \chi \rightarrow \chi \quad \phi ^0 \rightarrow \phi ^0 \quad \phi ^{ + + } \rightarrow e ^{ - 2i \alpha } \phi ^{ + + } \end{equation}$$ Esto parece una teoría perfectamente buena, cuya simetría se puede medir, pero si mi conclusión anterior es correcta por alguna razón, no debería poder medir esto.$U(1 ) _L$simetría. ¿Cometí un error o hay alguna razón profunda por la que esto no se puede hacer?