¿Explicando el axioma de terminación causal en los axiomas de Haag-Kastler?

Question

¿Explicando el axioma de terminación causal en los axiomas de Haag-Kastler?

Daniel Ranard

Hay varias variantes de los axiomas de Haag-Kastler para la teoría cuántica algebraica de campos. Usualmente uno asocia un álgebra $\mathcal{A}(O)$ a cada región abierta $O$ del espaciotiempo. Un axioma sugerido a menudo es que el álgebra asociada a una región es la misma que el álgebra asociada a su terminación causal. Para ser precisos: Dejemos que el complemento causal $O'$ de una región del espacio-tiempo $O$ sea el conjunto de puntos que son similares al espacio separados de todos los puntos en $O$ . Después $O''=(O')'$ se llama la terminación causal, y el axioma en cuestión establece el axioma

A (O^{″}) = A (O) .

$\mathcal{A}(O'')=\mathcal{A}(O).$ (Por ejemplo, consulte Haag, "Local Quantum Physics", Equation III.1.10). Debido a la incoherencia de la terminología, llamaré a esto el axioma causal de la sombra.

¿Se puede proporcionar una explicación/intuición más elaborada para el axioma de la sombra causal o mostrar que se cumple para la teoría del campo escalar libre?

En algunas presentaciones, incluido, al parecer, el artículo original de Haag-Kastler, los autores hacen una declaración alternativa:

A (D (O)) = A (O),

$\mathcal{A}(D(O))=\mathcal{A}(O),$ dónde

D (O)

$D(O)$ es el "dominio de dependencia" o "sombra causal" de

O

$O$ , es decir, el conjunto de puntos

p

$p$ tal que cada curva causal inextensible a través de

p

$p$ se cruza

O

$O$ . Este axioma más débil tiene más sentido para mí. (Creo que el axioma causal de la terminación implica el axioma causal de la sombra).

Para resaltar la diferencia entre la sombra causal y la terminación causal, considere $O$ como la unión de dos bolitas centradas en los puntos $(1,0)$ y $(-1,0)$ en $(t,x)$ coordenadas Después $O''$ será aproximadamente el "diamante causal" con vértices en $(\pm 1,0), (0,\pm 1)$ , pero la sombra causal es mucho más pequeña.

En respuesta a los comentarios: Otro axioma es el axioma de la "dualidad de Haag":

A (O^{'}) = A (O)^{'},

$\mathcal{A}(O')=\mathcal{A}(O)',$ dónde

A^{'}

$\mathcal{A}'$ es el conmutante. Porque

A^{″} = A

$\mathcal{A}''=\mathcal{A}$ para las álgebras de von Neumann, puede iterar el axioma de dualidad para ver que implica el axioma causal de terminación. En algunos lugares (por ejemplo, los libros de texto de Haag y Araki), solo encontré el axioma de dualidad establecido para el caso de que

O

$O$ es un diamante causal, pero, por ejemplo, en "Introducción a la teoría algebraica cuántica de campos" de Horuzhy (págs. 21 y 48), se analiza la dualidad de Haag para regiones arbitrarias, lo que implica el axioma de terminación causal para regiones arbitrarias. En lugar de perderme en una red de afirmaciones, prefiero intentar justificar/refutar el axioma causal de finalización, tal vez considerando el caso de una teoría libre.

Valter Moretti

De hecho, parece que el libro utiliza dos nociones diferentes de terminación causal . En la ecuación. (III.1.10) (donde aparece un comentario completamente engañoso que se refiere a la sec.4) y Eq. (III.3.44) la "completación causal" parece no ser más que el dominio de la dependencia . Más tarde en la Sec. 4 la terminación causal debe entenderse como

O^{″}

@Daniel Ranard En el libro reciente (soy el autor de un capítulo) link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-21353-8, el capítulo introductorio de K. Fredenhagen analiza el enfoque de Haag-Kastler y el axioma usted considera se expresa a continuación, refiriéndose a la red de

C^{*}

$C^*$ -álgebras

A (O)

$A(O)$ asociado a todas las regiones abiertas delimitadas

O

$O$ del espacio-tiempo de Minkowski. Si

O_{1} \subset O_{2}

$O_1\subset O_2$ y

O_{1}

$O_1$ contiene una superficie de Cauchy de

O_{2}

$O_2$ entonces la incrustación de las álgebras correspondientes es un isomorfismo (es decir,

A (O_{1}) = A (O_{2})

$A(O_1)=A(O_2)$ ).

Respuestas (1)

¿Explicando el axioma de terminación causal en los axiomas de Haag-Kastler?

De hecho, parece que el libro utiliza dos nociones diferentes de terminación causal . En la ecuación. (III.1.10) (donde aparece un comentario completamente engañoso que se refiere a la sec.4) y Eq. (III.3.44) la "completación causal" parece no ser más que el dominio de la dependencia . Más tarde en la Sec. 4 la terminación causal debe entenderse como $O''$ lo cual no coincide con el dominio de la dependencia en general.
Gracias. Haag puede estar refiriéndose de alguna manera al dominio de la dependencia como usted sugiere, pero muchos otros autores enumeran este axioma y se refieren explícitamente a la finalización causal como lo definí, por lo que la pregunta permanece.
¿Podría darme otra referencia problemática donde aparece el problema?
Solo de memoria, no creo que la dualidad de Haag implique el axioma de terminación causal, es una especie de álgebra máxima compatible con el axioma de localidad
@ user39158 (Sí, la dualidad de Haag dice que el álgebra del complemento causal es un álgebra máxima compatible con la microcausalidad). Pero creo que la implicación del axioma de finalización causal es un argumento de una línea si cree que A '' = A.
La condición $A''=A$ es fundamental en el cuadro de Haag, es la correspondiente geométrica de la estructura del álgebra de von Neumann...
Es divertido que nunca haya notado ese problema con el libro de Haag aunque conozco el libro (y al autor) desde hace muchos años. Gracias por sus comentarios.
La dualidad de Haag no solo necesita tratar con diamantes, sino que las secciones espaciales deben ser lo suficientemente regulares. Hace diez años construí otra demostración de la dualidad de Haag para el álgebra de Weyl del campo escalar libre, con hipótesis un poco más débiles pero siempre referida a diamantes. No creo que se pueda omitir esta estructura (rombos)...
@user39158 Suponga que A(Q')=A(Q)'. Aplicar a Q=O'. Entonces A(O'')=A(O')'. Pero también A(O')=A(O)', por lo que tomando el conmutador de ambos lados se obtiene A(O')'=A(O)''=A(O). Juntando da A(O'')=A(O).
Oh sí, de hecho. Estaba convencido de que estaba mal, pero ahora sé por qué Moretti insistió en los conos dobles: su prueba requiere que la dualidad de Haag se cumpla para regiones arbitrarias.
@ValterMoretti Entonces, básicamente, ¿crees que el axioma de finalización causal para dominios arbitrarios (como una pelota abierta) es incorrecto, y Haag se refería al dominio de dependencia?
@Daniel Ranard En el libro reciente (soy el autor de un capítulo) link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-21353-8, el capítulo introductorio de K. Fredenhagen analiza el enfoque de Haag-Kastler y el axioma usted considera se expresa a continuación, refiriéndose a la red de $C^*$ -álgebras $A(O)$ asociado a todas las regiones abiertas delimitadas $O$ del espacio-tiempo de Minkowski. Si $O_1\subset O_2$ y $O_1$ contiene una superficie de Cauchy de $O_2$ entonces la incrustación de las álgebras correspondientes es un isomorfismo (es decir, $A(O_1)=A(O_2)$ ).

Noix07 · Answer 1

Tengo una prueba personal para $D(O)= O''$ en el espaciotiempo de Minkowski y estoy seguro de que se mantiene en espaciostiempos más generales...

Notaciones y convenciones: $S\subset \mathcal M$ subconjunto del espacio-tiempo de Minkowski, $\eta$ tiene firma (+,-,-,-)

cono causal j (pags) := {q \in METRO, (q - pags)^{2} \geq 0, \forall pags \in S}, j (S) = ⋃_{pags \in S} j (pags)

$\textbf{causal cone}\qquad J(p) := \left\lbrace q\in\mathcal{M},\ (q-p)^2 \geq 0,\ \forall\ p\in S\right\rbrace,\quad J(S)= \bigcup_{p\in S} J(p)$

complemento causal S^{'} := {q \in METRO, (q - pags)^{2} < 0, \forall pags \in S} = METRO ∖ j (S)

$\textbf{causal complement}\qquad S' := \left\lbrace q\in\mathcal{M},\ (q-p)^2 < 0,\ \forall\ p\in S\right\rbrace = \mathcal{M} \backslash J(S)$

Uno quiere mostrar (cf. comentario, esta no es la definición correcta de $D(S)$ )

dominio de dependencia S^{″} \overset{!}{=} {q \in METRO, j (q) \subseteq j (S)} =: D (S)

$\textbf{domain of dependence} \qquad S'' \stackrel{!}{=} \left\lbrace q\in\mathcal{M},\ J(q) \subseteq J(S) \right\rbrace =: D(S)$

Esto se puede escribir como una equivalencia $\ J(q) \subseteq J(S) \enspace \Longleftrightarrow\enspace q\in S''$ y tenga en cuenta que cada lado puede entenderse como una implicación $A\ \Rightarrow\ B$ o con conectores lógicos $\neg A\ \text{or}\ B$ . (es decir $p\in J(q)\ \Rightarrow\ p\in J(S)$ y $p\in S'\ \Rightarrow \ (q-p)^2 <0$ )

$\underline{(\Rightarrow):}$ suponiendo que para todos $p\in \mathcal{M}$ , o $p\in \{q\}'\ \text{or}\ p\in J(S)$ , uno comprueba que $\ p\in S'\enspace\Rightarrow \enspace (q-p)^2 <0$ .

$\underline{(\Leftarrow):}$ la contraposición de la última implicación dice $\ (q-p)^2 \geq 0 \enspace\Rightarrow \enspace \exists\ s\in S,\ (p-s)\geq 0$ .

Observación: la terminación causal de dos puntos $p,q \in \mathcal{M},\ q\in I^+(p)$ (futuro cronológico) es de hecho el doble cono, pero no el abierto $I^+(p)\cap I^-(q)$ pero en realidad el "causal" $J^+(p)\cap J^-(q)$

Considerar $S= \{(0,1), (0,-1)\}$ refiriéndose a las coordenadas minkowskianas $x,t$ (con el orden dado). Qué son $D(S)$ y $S''$ ?
Con la noción estándar de $D(S)$ me parece que $D(S)=S$ . Con tigo $D(S)$ es el diamante generado por $S$ . ¿Me equivoco?
Gracias. Agradezco su dominio de la definición de independencia, independientemente
Tengo que comer, pero creo saber dónde está el problema: hay una diferencia entre $J(q)\subseteq J(1,0) \cup J(-1,0)$ y $\exists\ p\in S,\ J(q)\subseteq J(p)$
Valter Moretti tiene razón, con mi definición $D(S)= S''$ entonces lo que al principio parecía la definición correcta no es la correcta... Sin embargo, en varios libros, el dominio de dependencia o desarrollo de Cauchy se define solo para subconjuntos "acrónicos cerrados" "por razones técnicas", por ejemplo, la relatividad general y la Ecuaciones de Einstein, Yvonne Choquet-Bruhat, def. 11.1 p.393
De hecho si $S$ es acronal todo va bien creo, el punto es que en el libro de Haag $S$ parece ser bastante general, en realidad abierto, pero los contraejemplos se pueden construir en ese caso fácilmente...

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