Conmutadores, Medida y Causalidad en QFT

Question

Conmutadores, Medida y Causalidad en QFT

Aarón

En Peskin y Schroeder pág. 27-28, discuten la teoría y la causalidad de Klein-Gordon. Para una separación espacial $(x-y)^2 < 0$ , muestran que

⟨ 0 | ϕ (X) ϕ (y) | 0 ⟩ \neq 0

$\langle 0| \phi(x)\phi(y) |0\rangle \neq 0$

Continúan diciendo que esto en realidad no rompe la causalidad. Más bien, lo que uno debería mirar no es si las partículas pueden propagarse a lo largo de intervalos similares al espacio, sino si las mediciones separadas similares al espacio pueden afectarse unas a otras. Por lo tanto, argumentan que para comprender las medidas del campo $\phi(x)$ , uno debería estar tratando de entender el conmutador $[\phi(x),\phi(y)]$ .

Esta última afirmación me resulta opaca. En la configuración de QM, el orden de los operadores puede interpretarse físicamente como si uno se aplicara primero en el tiempo antes que el segundo. Sin embargo, esto no tiene sentido en el contexto QFT porque se aplica el operador en un punto específico del espacio-tiempo; cambiar el orden no es equivalente a cambiar el orden de tiempo de hacer las mediciones.

En el contexto QFT, ¿qué significa la "medida de un campo", en analogía con la medida QM de algún operador?
¿Por qué el conmutador es el objeto de elección cuando se quiere entender la causalidad? ¿Cuál es la interpretación física del conmutador aquí, particularmente con respecto a las medidas de $\phi(x)$ ?

demosteno

El conmutador se comporta como en QM: está comparando el resultado de aplicar un operador antes que el otro y viceversa; aquí, corresponde a la creación de un

ϕ

$\phi$ partícula en el punto

x

$x$ o

y

$y$ . Si el conmutador es

0

$0$ , el resultado es el mismo de cualquier manera: no hablan entre ellos. Si no es así, sus "medidas" pueden afectarse entre sí.

bob abeja

Bueno, si no recuerdo mal de las conferencias de Tong, esa expresión decae exponencialmente con la distancia espacial, y continuó explicando que no es tan malo, un exponencial negativo, y de todos modos es solo un valor de expectativa o probabilidad, pero no exactamente cero. Siguió con la clase. Me molestaba el distinto de cero. No sé si el decaimiento exponencial es rápido y agudo o no, y si no es cero, si uno podría tratar la probabilidad como una fluctuación, conceptualmente. Pero, ¿por qué la probabilidad de crearlo en x y aniquilar en y con xy espacial NO debería ser cero?

Aarón

@Demosthene Gracias por el comentario, pero su respuesta no responde la pregunta fundamental de por qué debería comparar el resultado de aplicar un operador antes que el otro. En QM, el orden de los operadores corresponde al orden en el que mides en el tiempo. Evidentemente, esto no es cierto en el escenario QFT, pero la causalidad es una declaración sobre el orden del tiempo, por lo tanto, el significado del conmutador con relación a la causalidad se vuelve ambiguo (para mí). Asimismo, la interpretación de

ϕ (x)

$\phi(x)$ como creando una partícula en

x

$x$ solo es cierto cuando actúa en el estado de vacío.

Keith McClary

"la interpretación de ϕ(x) como la creación de una partícula en x". No creo que esto sea correcto.

a^{+} (k)

$a^+(k)$ crea una partícula de impulso (número de onda)

k

$k$ . La interpretación sería correcta si ϕ fuera la transformada de Fourier de

a

$a$ , pero existe el factor adicional de

(ω_{k})^{- 1 / 2}

$(\omega_k)^{-{1/2}}$ .

Alex Zeffert

Excelente pregunta. Es lo que he estado tratando de entender. Si lo ha resuelto en los últimos dos años, responda su propia pregunta. Lo mejor que se me ocurre es que el conmutador es cero significa que puede elegir un estado

| Ψ ⟩

$\lvert \Psi \rangle$ que es a la vez un vector propio de un operador y un vector propio del otro, pero si no es cero, no puede. Pienso en los estados como posibles universos de bloques, pero no tengo idea si esto es correcto. Y no estoy seguro de qué tiene esto que ver con la causalidad. Quizá la libertad de elegir vectores propios mutuos sea lo mismo que la no causalidad.

Respuestas (2)

Conmutadores, Medida y Causalidad en QFT

El conmutador se comporta como en QM: está comparando el resultado de aplicar un operador antes que el otro y viceversa; aquí, corresponde a la creación de un $\phi$ partícula en el punto $x$ o $y$ . Si el conmutador es $0$ , el resultado es el mismo de cualquier manera: no hablan entre ellos. Si no es así, sus "medidas" pueden afectarse entre sí.
Bueno, si no recuerdo mal de las conferencias de Tong, esa expresión decae exponencialmente con la distancia espacial, y continuó explicando que no es tan malo, un exponencial negativo, y de todos modos es solo un valor de expectativa o probabilidad, pero no exactamente cero. Siguió con la clase. Me molestaba el distinto de cero. No sé si el decaimiento exponencial es rápido y agudo o no, y si no es cero, si uno podría tratar la probabilidad como una fluctuación, conceptualmente. Pero, ¿por qué la probabilidad de crearlo en x y aniquilar en y con xy espacial NO debería ser cero?
@Demosthene Gracias por el comentario, pero su respuesta no responde la pregunta fundamental de por qué debería comparar el resultado de aplicar un operador antes que el otro. En QM, el orden de los operadores corresponde al orden en el que mides en el tiempo. Evidentemente, esto no es cierto en el escenario QFT, pero la causalidad es una declaración sobre el orden del tiempo, por lo tanto, el significado del conmutador con relación a la causalidad se vuelve ambiguo (para mí). Asimismo, la interpretación de $\phi(x)$ como creando una partícula en $x$ solo es cierto cuando actúa en el estado de vacío.
"la interpretación de ϕ(x) como la creación de una partícula en x". No creo que esto sea correcto. $a^+(k)$ crea una partícula de impulso (número de onda) $k$ . La interpretación sería correcta si ϕ fuera la transformada de Fourier de $a$ , pero existe el factor adicional de $(\omega_k)^{-{1/2}}$ .
Excelente pregunta. Es lo que he estado tratando de entender. Si lo ha resuelto en los últimos dos años, responda su propia pregunta. Lo mejor que se me ocurre es que el conmutador es cero significa que puede elegir un estado $\lvert \Psi \rangle$ que es a la vez un vector propio de un operador y un vector propio del otro, pero si no es cero, no puede. Pienso en los estados como posibles universos de bloques, pero no tengo idea si esto es correcto. Y no estoy seguro de qué tiene esto que ver con la causalidad. Quizá la libertad de elegir vectores propios mutuos sea lo mismo que la no causalidad.

rwold · Answer 1

Según Weinberg en su texto, los componentes de la mayoría de los campos cuánticos no se pueden medir de ninguna manera obvia, por lo que es mejor no pensar en esos términos.

Sin embargo, los campos tienen que conmutarse entre sí cuando evalúa la matriz S, y luego la invariancia de Lorentz de la matriz S depende de manera crucial de los campos que conmutan en separaciones similares al espacio.

Muchos aspectos de la interpretación física en QFT son, en el mejor de los casos, sutiles, y los argumentos heurísticos filosóficamente débiles pero que suenan plausibles no son infrecuentes. (Ya puedes ver a la gente discrepar sobre algo tan básico como si $\phi$ ¡crea una partícula en los comentarios!) Los primeros capítulos de Peskin me parecieron difíciles precisamente por esta razón: es mucho mejor cuando llegas a la fenomenología y la física es menos opaca. Si desea un libro con el que no pueda discutir, intente con Weinberg, pero esto tiene el precio de tomar el doble de tiempo para cubrir el material, desafortunadamente en una notación bastante idiosincrásica que hace que sea difícil entrar y salir.

Virgo · Answer 2

Esta respuesta es para agregar algunos detalles a la respuesta de @ rwold.

En los experimentos de física de partículas, medimos la sección transversal de las interacciones de partículas que depende de la matriz S. La LSZ (fórmula de reducción de Lehmann-Symanzik-Zimmermann), que relaciona los elementos de la matriz S invariante de Lorentz $\langle f| S|i\rangle$ para $n$ estados propios de momento asintótico a una expresión que involucra los campos cuánticos $\phi(x)$ :

⟨ F | S | i ⟩ = [i \int d^{4} X_{1} (◻ + {metro}^{2}) {mi}^{- i {pag}_{1} X_{1}}] \dots [i \int d^{4} X_{norte} (◻ + {metro}^{2}) {mi}^{+ i {pag}_{norte} X_{norte}}] \times ⟨ Ω | T {ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) ϕ (X_{3}) \dots ϕ (X_{norte})} | Ω ⟩

$\langle f|S |i\rangle =\left[i\int d^4x_1 \left(\square+m^2\right) e^{-i p_1 x_1}\right]\cdots \left[i\int d^4x_n\left(\square +m^2\right) e^{+i p_n x_n}\right]\\ \times \langle \Omega |T\left\{\phi\left(x_1 \right) \phi \left(x_2 \right) \phi\left(x_3 \right) \cdots \phi \left(x_n\right)\right\}|\Omega \rangle$ El

T {\dots}

$T \{\cdots \}$ se refiere al producto pedido por tiempo e indica que todos los operadores deben ordenarse de modo que los de tiempos posteriores estén siempre a la izquierda de los de tiempos anteriores. P.ej

T {ϕ (x_{1}) ϕ (x_{2})} = ϕ (x_{2}) ϕ (x_{1})

$T \left\{ \phi \left(x_1\right) \phi \left(x_2\right)\right\}=\phi\left(x_2 \right) \phi \left(x_1 \right)$ si

t_{2} > t_{1}

$t_2>t_1$ independientemente de si

ϕ (x_{1})

$\phi \left(x_1 \right)$ y

ϕ (x_{2})

$\phi \left(x_2 \right)$ viajar o no. Sin embargo, si

x_{1}

$x_1$ y

x_{2}

$x_2$ son espacios como separados, entonces uno puede cambiar a un marco diferente que invierte el orden del tiempo. es decir, si pudiéramos tener

t_{2} > t_{1}

$t_2>t_1$ en un cuadro y

t_{1} > t_{2}

$t_1>t_2$ en otro. Por lo tanto, para que la matriz S sea invariante de Lorentz (es decir, independiente del marco) requerimos que

[ϕ (x_{1}), ϕ (x_{2})] = 0

$[\phi(x_1),\phi(x_2)]=0$ cuando

x_{1}

$x_1$ y

x_{2}

$x_2$ son espacios como separados.

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demosteno

bob abeja

Aarón

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Alex Zeffert

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rwold

Virgo

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