En QFT, ¿por qué un conmutador que desaparece asegura la causalidad?

Recuerde que los observables conmutables en la mecánica cuántica son observables simultáneamente. Si tengo observables A y B, y conmutan, puedo medir A y luego B y los resultados serán los mismos que si midiera B y luego A (si insiste en ser preciso, entonces con lo mismo quiero decir en un sentido estadístico donde tomo promedios sobre muchos experimentos idénticos). Si no viajan, los resultados no serán los mismos: medir A y luego B producirá resultados diferentes que medir B y luego A. Entonces, si solo tengo acceso a A y mi amigo solo tiene acceso a B, al medir A varias veces puedo determinar si mi amigo ha estado midiendo B o no.

Por lo tanto, es crucial que si A y B no conmutan, no están separados como en el espacio. O para eliminar los dobles negativos, es crucial que A y B deban conmutar si están separados como un espacio. De lo contrario, puedo saber haciendo mediciones de A si mi amigo está midiendo B o no, aunque la luz no podría haberme llegado desde B. Entonces, con la magia de un espacio-tiempo lorentziano, podría terminar viajando hacia mi amigo y llegar antes de que él observara B y evitar que haga la observación.

La función de correlación que anotaste, la que no tiene el conmutador, es de hecho distinta de cero. Esto representa el hecho de que los valores del campo en diferentes puntos del espacio están correlacionados entre sí. Esto está completamente bien, después de todo, hay eventos que son comunes a ambos en su cono de luz pasado, si retrocedes lo suficiente. No han tenido historias completamente independientes. PERO el punto es que estas correlaciones no surgieron porque usted hizo mediciones. No puede acceder a estas correlaciones haciendo experimentos locales en un punto de espacio-tiempo fijo, solo puede ver estas correlaciones midiendo los valores de campo en la ubicación espacial x y luego comparando notas con su amigo que midió los valores de campo en la ubicación espacial y. Solo podéis comparar notas cuando habéis tenido tiempo de viajar para acercaros el uno al otro.

Es peligroso pensar que los campos crean partículas en lugares del espacio-tiempo, porque no se puede localizar una partícula relativista en el espacio con mayor precisión que su longitud de onda compton. Si está pensando en campos en el espacio de posición, es mejor pensar en lo que está midiendo como un campo y no pensar en partículas en absoluto.

(En realidad, debo decir que no creo que puedas realmente saber que tu amigo estaba midiendo B en y solo haciendo mediciones en A. Pero el estado del campo cambiaría y la evolución del campo sería acausal. I creo que este es un punto un tanto técnico, la idea principal es que no desea poder afectar lo que el campo va ALLÁ fuera del cono de luz al hacer mediciones AQUÍ MISMO porque tiene problemas con la causalidad)

Si desea ver un pequeño cálculo para mostrar por qué la microcausalidad está relacionada con la desaparición del conmutador, aquí hay un ejercicio simple que puede hacer.

Considere algún operador$A(\vec{x},t)$del cual quiero medir el valor esperado de vacío en algún estado$\psi$

$$\mathcal{E}_A(\vec{x},t) := \langle \psi|A(\vec{x},t)|\psi\rangle\,.$$ Ahora dale una "patada" al hamiltoniano en un momento determinado$t_0$(asumamos$t_0 = 0$). Con eso quiero decir que perturbamos el hamiltoniano por algún operador que no es cero solo para$t > 0$. A saber $$H = H_0 + \theta(t)\, V(t)\,.$$ ¿Cómo es el valor esperado de$A$cambio después de esta perturbación? Parece que el enfoque más conveniente sería la imagen de interacción , así que hagámoslo. Sin revisar los detalles, definimos el estado$|\psi\rangle$y los operadores$\mathcal{O}$como operador de evolución temporal$\exp(i H_0 t)$aplicado en la imagen de Schrödinger $$\psi_{\mathrm{int}}(t) = e^{i H_0 t} \psi_{\mathrm{S}}(t)\,,\qquad H_{\mathrm{int}}(t) = e^{i H_0 t}H e^{-i H_0 t}\,.$$ El operador de evolución temporal$U(t,t_0)$debe satisfacer $$i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \psi_{\mathrm{int}}(t) := i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} U(t,t_0) \psi_{\mathrm{int}}(t_0) = \theta(t) V(t)\,U(t,t_0) \psi_{\mathrm{int}}(t_0)\,,$$ donde la primera igualdad es una definición de$U$y el segundo su ecuación diferencial. A primer orden en la perturbación$V$la solucion es $$U(t,t_0) = \mathbb{1} - i \int_{t_0}^t\mathrm{d}t' \,V(t') + O(V^2)\,,\qquad \forall\;t_0 > 0\,.$$ Hasta ahora todo estándar. Se puede ver entonces que el valor esperado se transforma como $$\begin{aligned} \mathcal{E}_A(\vec{x},t) &= \langle\psi(t)|A(\vec{x},t)|\psi(t)\rangle \\&= \langle \psi|U^\dagger(t,0)\, e^{i H_0 t} A(\vec{x},0)e^{-i H_0 t}\, U(t,0) |\psi\rangle \\& \simeq \mathcal{E}_A(\vec{x},0) - i\int_0^t \mathrm dt'\langle \psi| A(\vec{x},t) V(t') - V(t') A(\vec{x},t) | \psi \rangle\,. \end{aligned}$$ Aquí simplemente usé todas las definiciones de la imagen de interacción y las expandí a primer orden en$V$. Ahora hagamos una suposición física. Esto es similar a lo que se hace en la teoría de la respuesta lineal. Consulte la fórmula de Kubo, por ejemplo.

la perturbación$V$que definí como una "patada" ocurre no solo en un momento específico, sino también en un lugar específico. Por lo tanto modificará el hamiltoniano como la integral de algún operador local$B$. A saber

$$V(t) = \int \mathrm{d}^{d-1} x B(\vec{x},t)\,.$$ De este tiene $$\mathcal{E}_A(\vec{x},t) - \mathcal{E}_A(\vec{x},0) = \int_0^t\mathrm{d}t'\int \mathrm{d}^{d-1} x'\,\langle\psi|\big[A(\vec{x},t)\,, B(\vec{x}{}',t')\big]|\psi\rangle\,.$$ Aquí ves inmediatamente que la microcausalidad debe implicar que el correlador tiene que desaparecer fuera del cono de luz. Suponer que$B$crea una perturbación en algún lugar del espacio-tiempo, es imposible que$A$lo sabe si están separados como en el espacio. Tendría que esperar al menos el tiempo que tarda la luz en llegar allí para tener un cambio en el valor esperado. Por lo tanto, la única forma de preservar la causalidad es exigir $$\big[A(\vec{x},t)\,, B(\vec{x}{}',t')\big] = 0\quad \mathrm{if}\; (x-x')^2 < 0\,.$$ Una simple contradicción que uno podría inventar es la siguiente: dígale a un amigo que haga una perturbación al hamiltoniano en el momento$t = 0$, o no hacerlo. Entonces te separas como en el espacio de tu amigo. Si$A$y$B$no viaje, puede inferir si su amigo ha decidido perturbar ser hamiltoniano o no simplemente midiendo$\mathcal{E}_A$. Y como sabrán, esto conduce a todo tipo de paradojas en la relatividad especial.