Causalidad y teoría cuántica de campos [duplicado]

Tengo un problema con la prueba de causalidad en Peskin & Schroeder, An Introduction to QFT, página 28. Para evitar confusiones, utilizo la notación de tres vectores, reescribiendo la ecuación. (2.53) para$y=0$como sigue:

$[\phi(x,t),\phi(0,0)]=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\sqrt{p^2+m^2}}\left(e^{-i\mathrm{p}.\mathrm{x}-it\sqrt{p^2+m^2}}-e^{i\mathrm{p}.\mathrm{x}+it\sqrt{p^2+m^2}}\right)$

El libro continúa sobre cómo el integrando siendo invariante de Lorentz hace que esta integral sea cero para la x fuera del cono de luz. Pero yo (que no soy un experto en relatividad especial) quiero verlo con más rigor:

después de cambiar las variables$p\to-p$en el primer término, la ecuación se simplifica a:

$[\phi(x,t),\phi(0,0)]=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{-2i}{2\sqrt{p^2+m^2}}e^{i\mathrm{p}.\mathrm{x}}\sin\left(t\sqrt{p^2+m^2}\right)$

usando coordenadas esféricas:

$[\phi(x,t),\phi(0,0)]=\int \frac{dpd\phi d\theta p^2\sin\theta}{(2\pi)^3}\frac{-i}{\sqrt{p^2+m^2}}e^{ipx\cos\theta}\sin\left(t\sqrt{p^2+m^2}\right)\\ [\phi(x,t),\phi(0,0)]=\int_0^{\infty}\frac{dpp}{(2\pi)^2}\frac{-2i}{x\sqrt{p^2+m^2}}\sin (px)\sin\left(t\sqrt{p^2+m^2}\right)$

de nuevo después de otro cambio de variables$u=\sqrt{p^2+m^2}$,

$[\phi(x,t),\phi(0,0)]=\frac{-2i}{x}\int_m^{\infty}\frac{du}{(2\pi)^2}\sin (x\sqrt{u^2-m^2})\sin\left(tu\right)$

No puedo ver cómo esta integral debería ser cero para$x>t$!!! ¿Puede alguien por favor explicarme esto?