Átomo de hidrógeno en 2 dimensiones espaciales con potencial logarítmico

Question

Átomo de hidrógeno en 2 dimensiones espaciales con potencial logarítmico

Manvendra Somvanshi

Estaba tratando de resolver la función de onda de un electrón en un átomo de hidrógeno confinado a solo dos dimensiones (en tierra plana). En primer lugar, descubrí la energía potencial electrostática en Flatland. Esto resultó ser

tu = - \frac{Z {mi}^{2}}{2 π ϵ_{0}} Iniciar sesión r .

$U=-\frac{Ze^2}{2\pi\epsilon_0}\log{r}.$ Aquí he elegido

r = 1

$r=1$ como la superficie de potencial cero.

La ecuación de Schrödinger en dos dimensiones es

- (\frac{1}{r} \partial_{r} (r \partial_{r} Ψ) + \frac{1}{r^{2}} \partial_{θ}^{2} Ψ) + tu Ψ = mi Ψ .

$-(\frac{1}{r}\partial_r(r\partial_{r}\Psi)+\frac{1}{r^2}\partial^{2}_{\theta}\Psi) + U\Psi=E\Psi.$ Para evitar escribir demasiado, he decidido configurar

ℏ / 2 μ

$\hbar/2\mu$ a uno. Usando

Ψ = R (r) Y (θ)

$\Psi=R(r)Y(\theta)$ la ecuación se puede separar en ecuaciones radiales y angulares.

La ecuación angular es

\partial_{θ}^{2} Y = - {metro}^{2} Y

$\partial^{2}_{\theta}Y=-m^2Y$ y la ecuación radial es

\frac{1}{r} \partial_{r} (r \partial_{r} R) + (mi + \frac{Z {mi}^{2}}{2 π ϵ_{0}} Iniciar sesión r - \frac{{metro}^{2}}{r^{2}}) R = 0.

$\frac{1}{r}\partial_r(r\partial_{r}R)+(E+\frac{Ze^2}{2\pi\epsilon_0}\log{r}-\frac{m^2}{r^2})R=0.$

Puedo resolver y cuantificar fácilmente la ecuación angular, pero he estado atascado en la ecuación radial durante días. No sé cómo resolver la ecuación diferencial radial (no soy muy bueno para resolver ED de segundo orden). Tampoco puedo averiguar cómo cuantificar la energía total del electrón.

Preguntas:

¿Cómo resolver la ecuación de la función de onda radial y cómo se cuantifica la energía en dicho átomo?
Cuando busqué fuentes de ayuda en línea, descubrí que todos consideraban que la energía potencial era de la forma $1/r$ en lugar de $\log(r)$ . Según la ley de Gauss, el potencial electrostático será logarítmico en dos dimensiones. ¿Por qué consideran que el potencial es de la forma $1/r$ ?

G. Smith

Los métodos numéricos de Wikipedia para ODE mencionan varios algoritmos.

Gert

Nunca piense que es el primero en pensar en un problema: newton.ex.ac.uk/research/qsystems/portnoi/JMP_43_4681.pdf y web.math.ku.dk/~schlicht/DL/2013/HydrogenAtom. pdf

Manvendra Somvanshi

@Gert Ya he visto los dos documentos que ha ubicado aquí. Ambos son diferentes del problema que estoy (o estaba) resolviendo. El potencial utilizado en ambos documentos es el potencial de Coulomb, que no es aplicable en terreno plano, solo es aplicable en dos dimensiones confinadas en el espacio 3D (como explica @Vadium). Además, nunca dije que soy el primero en pensar en esto en mi publicación, solo dije que tenía un problema aquí y necesitaba ayuda.

Respuestas (2)

Átomo de hidrógeno en 2 dimensiones espaciales con potencial logarítmico

Los métodos numéricos de Wikipedia para ODE mencionan varios algoritmos.
Nunca piense que es el primero en pensar en un problema: newton.ex.ac.uk/research/qsystems/portnoi/JMP_43_4681.pdf y web.math.ku.dk/~schlicht/DL/2013/HydrogenAtom. pdf
@Gert Ya he visto los dos documentos que ha ubicado aquí. Ambos son diferentes del problema que estoy (o estaba) resolviendo. El potencial utilizado en ambos documentos es el potencial de Coulomb, que no es aplicable en terreno plano, solo es aplicable en dos dimensiones confinadas en el espacio 3D (como explica @Vadium). Además, nunca dije que soy el primero en pensar en esto en mi publicación, solo dije que tenía un problema aquí y necesitaba ayuda.

Quinn · Answer 1

Estoy de acuerdo en que esta ecuación probablemente no admita una solución en términos de funciones elementales. Sin embargo, investigando un poco encontré este artículo: Atabek et. Alabama. física Rev. A 1974 que cubre sus preguntas (usan un potencial 2D logarítmico y discuten el espectro de valores propios de energía).

Una cosa útil que hacen es sustituir $R_m = r^{-½}f_m$ eliminar el término proporcional a $R^\prime$ en la ecuación y generar una ecuación de la forma: $f^{\prime \prime}_m = g(r,m) f_m$ que es más agradable para trabajar.

Con respecto a una solución numérica:

Lo que tiene aquí es un "problema de valor límite de 2 puntos (BVP)" (ya que especifica el valor de $R_m$ , o equivalente $f_m$ , a $r = 0$ y quieres que desaparezca como $r \rightarrow \infty$ ) que a menudo se tratan con los llamados "Códigos de disparo".

Si está familiarizado con métodos numéricos más simples (de 1 paso, explícitos) como RK4, una cosa simple que puede hacer es iterar sobre los valores de $E$ con una conjetura para $R^\prime(0)$ y verifique el valor de la solución ( $R$ ) en algún valor final grande de $r$ . Dependiendo de sus unidades, incluso algo como $r_f = 10$ parece suficiente. Luego puede ajustar manualmente su cuadrícula de búsqueda de $E$ es hasta este valor final, $R(r_f)$ , es aproximadamente cero.

Codifiqué este esquema iterativo de RK4 solo para verificar la forma cualitativa de las funciones de onda radial (con $m = 0$ ) informado en el artículo vinculado de 1974 y parecen estar de acuerdo (cf. Fig. 4 del artículo).

Una advertencia : no preste atención a los valores numéricos de $E$ o $R_{m=0}$ en la siguiente figura, las unidades probablemente estén un poco confundidas. Además, normalicé los picos de $R_m$ a 1 para la comparación entre $m$ 's.

Sin embargo, para la inspección cualitativa, aquí hay tres funciones propias de la ecuación, una para $m = 0$ , y dos para $m = 1$ . Estos se encontraron utilizando el método iterativo RK4.

roger vadim · Answer 2

Dudo que esta ecuación tenga solución, aunque sería prudente consultar un libro sobre funciones especiales, como Abramovitz & Stegun o Gradshtein & Ryzhik.

Su ecuación parece ser correcta para una llanura . Sin embargo, muchos problemas se relacionan con el mundo real en 3D, donde el movimiento se limita a dos o incluso a una dimensión. En este caso el potencial sigue siendo 3D: $1/r$ . El caso unidimensional es notable, ya que la energía de enlace diverge, lo que durante mucho tiempo planteó un problema para analizar excitones en nanotubos de carbono.

Átomo de hidrógeno en 2 dimensiones espaciales con potencial logarítmico

Manvendra Somvanshi

G. Smith

Gert

Manvendra Somvanshi

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Quinn

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