¿Se puede enunciar la parte 1 del teorema fundamental del cálculo sin utilizar el concepto de función de área?

Siendo nuevo en cálculo, estoy tratando de entender la Parte 1 del Teorema Fundamental del Cálculo.

Por lo general, esta primera parte se expresa usando una "función de área" F que asigna cada x en el dominio de f al número "integral de a a x de f(t)dt".

Sin embargo, encuentro dificultades para comprender cuál es el estado de esta función de área, ya que aparentemente no es ni una integral indefinida ni una integral definida (porque, creo, una integral definida es un número, no una función); si esta "función de área" no es una "integral" (de algún tipo), no entiendo de qué manera afirmar que F'=f equivale a decir "integración y diferenciación son procesos inversos" como se dice informalmente.

De ahí mi pregunta: ¿existe una versión más fácil de entender de la Parte 1 de la FTC que no haga uso del concepto de función de área?

Nota: creo que entiendo de qué manera la función de área es una función y qué "hace". Lo que no entiendo es el papel que juega al probar que "la integración y la diferenciación son procesos inversos" (dado que esta función no es ni una integral definida ni una integral indefinida, como las respuestas de MSE que obtuve anteriormente tienden a mostrar).

"Ordinariamente"? No creo haber visto nunca el Teorema Fundamental expresado en términos de una "función de área". ¿Quién dice "función de área"?
@DavidK. - algunos también dicen "función de acumulación"; la función F que asigna cada x en dom(f) al número "integral de a a x de f(t)dt".
Mi punto no es que F no sea una función; mi punto es: "¿es F una integral (de algún tipo)?" y si sucede, no lo es (porque obtuve esa respuesta en MSE), ¿por qué el hecho de que F'=f se puede traducir como "la integración es el proceso inverso de la diferenciación"?
Si tienes que dar la función X ↦ ∫ a X F ( t ) d t un nombre, entonces la "función de acumulación" está bien. Aún así, cuando establezco el Teorema Fundamental, estoy acostumbrado a ver la función escrita explícitamente en términos de una integral definida.
El hecho de que F sea una función es claro para mí; también me queda claro que todas las imágenes en esta función son integrales definidas.
Perdón por tergiversarte en un comentario (ahora eliminado), perdí la noción del tren de pensamiento por un momento.
yo diría F es una función que se define en términos de integrales definidas. Nos adentramos en la cuestión de "¿cuál es la definición de una integral definida?", pero si quiere ceñirse a una definición en la que, si obtiene dos valores numéricos diferentes, debe tener dos integrales definidas (en lugar de una integral definida con un límite variable ), podemos definir F en términos de una familia de integrales definidas en las que todo es igual excepto el límite superior.
Por cierto, no te equivocas al preocuparte por las definiciones exactas de estas cosas. Es un punto que a menudo se pasa por alto.

Respuestas (2)

Sí, ∫ a b F ( t ) d t es un número pero si cambias a o b (o ambos), por lo general obtiene un número diferente. Entonces, ( a , b ) ↦ ∫ a b F ( t ) d t es una función de a y b (y F ). Y, en particular, para a (y F ) fijado, X ↦ ∫ a X F ( t ) d t es una función Y el Teorema Fundamental del Cálculo establece que, si F es continuo, entonces F es diferenciable y F ′ = F .

De la misma manera, si definimos alguna función F de números reales a números reales, entonces F ( 0 ) es un número, y también lo es F ( 17 ) , y tambien F ( a ) si a es un número El hecho de que puedas ver una aplicación de una función y decir que es un número no niega el hecho de que tenías una función para aplicar.

Creo que el problema clave aquí es que no puedes entender cómo la integración y la diferenciación son procesos inversos.

Para comprenderlo y apreciarlo por completo, debe conocer la definición de derivada (fácil) y la de integral (difícil y evitada en su mayoría en los textos de cálculo para principiantes).

Así como la derivada se define como un límite, la integral ∫ a b F ( X ) d X también se define como un límite complicado basado en a , b , F . Hay algunos tecnicismos involucrados aquí y puede echar un vistazo a esta respuesta para obtener más detalles.

El vínculo entre derivadas e integrales se entiende entonces analizando la integral ∫ a X F ( t ) d t . La idea es entender cómo varía la integral a medida que varía el intervalo de integración. Y ahí tienes el Teorema Fundamental del Cálculo parte 1 que dice que

FTC Parte 1 : Dejar F : [ a , b ] → R sea ​​Riemann integrable en [ a , b ] . Entonces la función F : [ a , b ] → R definido por

F ( X ) = ∫ a X F ( t ) d t
es continua en [ a , b ] . Y además si F es continua en algún punto C ∈ [ a , b ] entonces F es diferenciable en C con F ′ ( C ) = F ( C ) .

En términos más simples, si la función F siendo integrado es continuo en todo el intervalo de integración entonces F ′ ( X ) = F ( X ) en todo el intervalo. Por lo tanto, podemos calcular la tasa a la que varía la integral a medida que varía el intervalo de integración.

Y esto nos da una forma de evaluar integrales sin usar la complicada definición de integral. Más bien, uno espera encontrar una antiderivada y simplemente restar sus valores en los puntos finales del intervalo. Más formalmente tenemos

FTC Parte 2 : Deja F : [ a , b ] → R sea ​​Riemann integrable en [ a , b ] y además supongamos que F posee una antiderivada F en [ a , b ] es decir, existe una función F : [ a , b ] → R tal que F ′ ( X ) = F ( X ) para todos X ∈ [ a , b ] . Entonces

∫ a b F ( X ) d X = F ( b ) − F ( a )

¿Se puede enunciar la parte 1 del teorema fundamental del cálculo sin utilizar el concepto de función de área?
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